Question

Aplicaciones de la Derivada

Answer 1

Una función es creciente en todos los puntos en que su primera derivada es positiva, decreciente si es negativa, estacionaria si es nula

1) f '(x) = 5; positiva en todos los puntos.

2) f '(x) = 2 x + 2 > 0; x > - 1/2, creciente.

x < - 1/2, decreciente; x = - 1/2, estacionaria

3) f '(x) = 3 x² + 1 > 0; positivo para todo x. La función es creciente en todo su dominio de definición

Puntos críticos.

1) f '(x) = 2 x + 4 = 0; x = - 2; hay un punto crítico en x = - 2

f(- 2) = 4 - 8 = - 4; punto crítico (- 2, - 4)

Hay otro punto crítico en x = 2 (pertenece al dominio)

f(2) = 4 + 8 = 12; punto crítico (2, 12)

2) f '(x) = 2 x - 3 = 0; x = 3/2; f(x) = - 9/4;

Punto crítico es (3/2, - 9/4) (es un mínimo)

3) f '(x) = 3 x² - 6 x = 0; hay dos puntos críticos: x = 0, x = 2

f(0) = 4; f(x) = 0; (0, 4) máximo relativo; (4, 0) mínimo relativo

Segunda parte.

1) f '(x) = 6 x - 18 = 0; x = 3 (punto crítico)

Criterio: si la primera derivada pasa de positiva a negativa en el punto crítico, hay un máximo; a la inversa hay un mínimo.

f '(2,9) = - 0,6; f '(3,1) = 0,6; hay un mínimo

2)f '(x) = x² + 4 x - 12 = 0; puntos críticos en x = - 6; x = 2

f '(- 6,1) = 0,81; f '(- 5,9) = - 0,79; máximo

f '(1,9) = - 0,79; f '(2,1) = 0,81; hay un mínimo

Máximo f(- 6) = 72; mínimo f(2) = - 40/3

Criterio de la segunda derivada.

Si la segunda derivada en el punto crítico es negativa, hay un máximo; a la inversa, hay un mínimo. Si es nula no hay máximo ni mínimo

1) f '(x) = 3 x² - 2 x - 1 = 0; puntos críticos en x = - 1/3, x = 1

f ''(x) = 6 x - 2; f ''(- 1/3) = - 4, negativa, máximo
f ''(1) = 4; positiva, mínimo

Máximo f(- 1/3) = 32/27; Mínimo f(1) = 0

2) f '(x) = x³ + 9 x² + 18 x; f ''(x) = 3 x² + 18 x + 18

f '(x) = 0, puntos críticos; x = - 6; x = - 3; x = 0;

f ''(- 6) = 18; hay un mínimo

f ''(- 3) = - 9; hay un máximo (relativo, no absoluto)

f ''(0) = 18; hay un mínimo

Valores críticos: f(- 6) = 0; f(- 3) = 81/4; f(0) = 0

Se adjunta gráfico de esta última función.

Revisa por si hay errores.

Saludos Herminio