Question

Un explorador sale del campamento y recorre 400 metros hacia el norte, después gira 30 grados hacia el este y camina 500 metros. Posteriormente de dirige hacia el sur , caminando 200 metros. ¿ A que distancia se encuentra del campamento en ese momento?

Answer 1

El explorador se encuentra a 680.59 metros del campamento

Solución

Como en el enunciado se hace referencia a los puntos cardinales, ubicaremos a estos puntos en el plano cartesiano

Se toma el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte, el semieje positivo del eje X como la dirección Este y el semieje negativo del eje X como la dirección Sur

Determinamos las coordenadas de los puntos  

Punto A

El explorador se desplaza 400 metros hacia el Norte  desde el origen de coordenadas

Donde prescindimos de las unidades para hallar los pares ordenados, sabiendo que representan metros

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) }}$

Por tanto al desplazarse en una dirección paralela al eje Y o eje de las ordenadas:  

Para el Punto A se mantiene el mismo valor del punto de origen para el eje X o eje de abscisas y se modifica su coordenada en el eje Y

$\large\boxed{\bold { x_{1 } = 0 }}$

$\large\boxed{\bold { y_{1 } = 400 }}$

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) = (0 , 400) }}$

El explorador en su primer trayecto llega desde el origen de coordenadas hasta el punto A (0,400)

Punto B

Una vez alcanzado el punto A (0, 400) el explorador se desplaza 500 metros a 30° medidos del Norte hacia el Este, lo que equivale a 60° del Este hacia el Norte,

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = x_{1} + x_{2} \ . \ cos(60^o) }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = 0 + 500 \ . \ cos(60^o) }}$

$\boxed{\bold { x_{2 }= 500 \ . \ cos(60^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 grados es }\bold { \frac{ 1 }{2} }$

$\boxed{\bold { x_{2 } = 500 \ . \ \frac{1}{2} }}$

$\large\boxed{\bold { x_{2 } = 250 }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = y_{1} + y_{2} \ . \ sen(60)^o }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = 400 + 500 \ . \ sen(60^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es }\bold { \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

$\boxed{\bold { y_{2 } = 400 + 500 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } =400 \ + \not 2 \ . \ 250 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not 2} }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = 400 + \ 250 \sqrt{3} }}$

$\large\boxed{\bold { y_{2 } = 833.01 }}$

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) = (250, 833.01) }}$

Luego el explorador en su segundo trayecto avanza desde el punto A (0,400) hasta el punto B (250, 833.01)

Punto C

Una vez alcanzado el punto B (250, 833.01) el explorador se desplaza 200 metros al Sur

Por tanto al desplazarse en una dirección paralela al eje Y o eje de las ordenadas:  

Para el Punto C se mantiene el mismo valor del punto B para el eje X o eje de abscisas y se modifica su coordenada en el eje Y

$\large\boxed{\bold { C (x_{3} , y_{3} ) }}$

$\boxed{\bold { x_{3 } = x_{2} }}$

$\large\boxed{\bold { x_{3 } = 250 }}$

$\boxed{\bold { y_{3 } = y_{2} - y_{3} }}$

$\boxed{\bold { y_{3 } = 833.01 - 200 }}$

$\large\boxed{\bold { y_{3 } = 633.01 }}$

$\large\boxed{\bold { C (x_{3} , y_{3} ) = (250, 633.01) }}$

El explorador recorre 200 metros en dirección Sur desde el punto B (250, 833.01) hasta el punto C (250, 633.01) donde culmina su trayectoria

Hallamos el Desplazamiento Resultante

El desplazamiento está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

$\large\textsf{ Donde el punto inicial est\'a dado por el origen de coordenadas:}$

$\boxed{\bold { O \ (0,0) }}$

$\large\textsf{ Y donde el punto donde termina el trayecto est\'a dado por } \\\large\textsf{ el par ordenado:}$

$\boxed{\bold { C\ (250\ , \ 633.01) }}$

Empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para determinar el desplazamiento

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D}|| = \sqrt{(250 - 0 )^{2} +(633.01 -0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D}|| = \sqrt{(250) ^{2} +(633.01) ^{2} } } }$    

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D}|| = \sqrt{ 62500 + 400701.6601 } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D}|| = \sqrt{ 463201.6601 } } }$

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D}|| \approx 680.59 \ m } }$

El desplazamiento del explorador es de 680.59 metros

Hallamos la dirección

Para hallar la dirección recurrimos a las razones trigonométricas

Conocemos el punto final de la trayectoria tomaremos la razón trigonométrica tangente con los valores del punto C

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{y_{3} }{x_{3} }}}$

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{833.01 \not m }{ 250 \not m }}}$

$\boxed{\bold { \beta= arctan\left( \frac{833.01 }{ 250 } \right) }}$

$\boxed{\bold { \beta= arctan\ ( 2.53204 ) }}$

$\boxed{\bold { \beta= 68.44902^o }}$

$\large\boxed{\bold { \beta= 68.45^o }}$

La dirección es de 68.45° con respecto al Este