Question

Una persona que tiene ingresos variables gana a la semana, en promedio, $1250 con una desviación estándar de $350. Si se sabe que lo que gana esta persona se distribuye normalmente, determina:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana gane más de $1500?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane entre $1000 y $1750 en una semana?
c) ¿A partir de cuánto se le podría considerar el 10% de los mejores ingresos semanales?

Answer 1

La probabilidad de ganar más de $1500 es del 23,9%.

La probabilidad de ganar entre $1000 y $1750 es del 68,5%.

A partir de $1702 por semana se puede considerar dentro del 10% de los mejores ingresos semanales.

Explicación:

a) Primero tenemos que hallar el valor de z para un ingreso de $1500:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1500-1250}{350}=0,71$

Con este valor hallamos la probabilidad en las tablas de distribución normal, pero la probabilidad que  vamos a obtener va a ser de ganar menos de $1500 por lo que queda;

$P(X<1500)=0,7611\\\\P(X>1500)=1-0,7611=0,2389$

b) Tenemos que hallar los valores de z para 1000 y 1750:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1000-1250}{350}=-0,71\\\\z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1750-1250}{350}=1,43$

Con estos valores obtenemos las siguientes probabilidades de la tabla de distribución normal:

$P(X<1000)=0,2389\\\\P(X<1750)=0,9236$

Por lo que la probabilidad de ganar entre $1000 y $1750 es:

$P(1000<X<1750)=P(X<1750)-P(X<1000)=0,9236-0,2389=0,6847$

c) La tabla de distribución normal nos da la probabilidad de que X sea menor a un valor. Por lo que el valor m tal que $P(X>m)=0,1$ equivale a decir que es el valor m tal que $P(X<m)=0,9$.

En las tablas de distribución normal el valor en el cual la probabilidad es 0,9 es 1,29. Entonces hacemos:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\X=\sigma.z+\mu=350.1,29+1250=1702$

Por lo que a partir de $1702 por semana se puede considerar dentro del 10% de los mejores ingresos semanales.