Question

leyes de los exponentes?

Answer 1

Aquí están las leyes:

Ley                                   Ejemplo
x[1] = x                             6[1] = 6
x[0] = 1                             7[0] = 1
x[-1] = 1/x                         4[-1] = 1/4
x[m]x[n] = x[m+n]             x[2]x[3] = x[2+3] = x[5]
x[m]/x[n] = x[m-n]             x[4]/x[2] = x[4-2] = x[2]
(x[m])[n] = x[mn]              (x[2])[3] = x[2×3] = x[6]
(xy)[n] = x[n]y[n]              (xy)[3] = x[3]y[3]
(x/y)[n] = x[n]/y[n]            (x/y)[2] = x[2] / y[2]
x[-n] = 1/x[n]                    x[-3] = 1/x[3]

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5 ... etc... 521 × 5 × 525511 × 5550115-11 ÷ 50,25-21 ÷ 5 ÷ 50,04 ... etc... 

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que 

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Answer 2

Explicación paso a paso:

Explicación de las leyes de los exponentes

Como se dijo anteriormente, los exponentes son una forma abreviada que representa la multiplicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda. Por ejemplo:

23 = 2*2*2 = 8

En ese caso el número 2 es la base de la potencia, que será multiplicado 3 veces como lo indica el exponente, ubicado en la esquina superior derecha de la base. Existen diferentes formas de leer la expresión: 2 elevado a la 3 o también 2 elevado al cubo.

Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción. Por ejemplo:

2– 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Esto no debe confundirse con el caso en el que la base es negativa, ya que dependerá de si el exponente es par o impar para determinar si la potencia será positiva o negativa. Así se tiene que:

– Si el exponente es par, la potencia será positiva. Por ejemplo:

(-7)2 = -7 * -7 = 49.

– Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo:

(–2)5 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Existe un caso especial en el cual si el exponente es igual a 0 se tiene que la potencia es igual a 1. También existe la posibilidad de que la base sea 0; en ese caso, dependiendo del exponenete, la potencia será indeterminada o no.

Para realizar operaciones matemáticas con los exponentes es necesario seguir varias reglas o normas que hacen más simple hallar la solución de esas operaciones.

Primera ley: potencia de exponente igual a 1

Cuando el exponente es 1, el resultado será el mismo valor de la base: a1 = a.

Ejemplos

91 = 9.

221 = 22.

8951 = 895.

Segunda ley: potencia de exponente igual a 0

Cuando el exponente es 0, si la base es distinta de cero, el resultado será: a0 = 1.

Ejemplos

10 = 1.

3230=1.

10950 = 1.

Tercera ley: exponente negativo

Como el exponte es negativo, el resultado será una fracción, donde la potencia será el denominador. Por ejemplo, si m es positivo, entonces a-m =1/am.

Ejemplos

– 3-1 = 1/ 3.

– 6-2 = 1 / 62 = 1/36.

– 8-3 = 1/ 83 = 1/512.

Cuarta ley: multiplicación de potencias con base igual

Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados: am * an = am+n.    

Ejemplos

– 44 * 43 = 44+3 = 47

– 81 * 84 = 81+4 = 85

– 22 * 29 = 22+9 = 211

Quinta ley: división de potencias con base igual

Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan como sigue: am / an = am-n.    

Ejemplos

– 92 / 91 = 9 (2 – 1) = 91.

– 615 / 610 = 6 (15 – 10) = 65.

– 4912 / 496 = 49 (12 – 6) = 496.

Sexta ley: multiplicación de potencias con base diferente

En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente: am * bm = (a*b) m.

Ejemplos

– 102 * 202 = (10 * 20)2 = 2002.

– 4511 * 911 = (45*9)11 = 40511.

Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a*b)m=am* bm.

Ejemplos

– (5*8)4 = 54 * 84 = 404.

– (23 * 7)6 = 236 * 76 = 1616.

Séptima ley: división de potencias con base diferente

Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente: am / bm = (a / b)m.

Ejemplos

– 303 / 23 = (30/2)3 = 153.

– 4404 / 804 = (440/80)4 = 5,54.

De igual forma, cuando una división se encuentra elevada a una potencia, el exponente va a pertenecer en cada uno de los términos: (a / b) m = am /bm.

Ejemplos

– (8/4)8 = 88 / 48 = 28.

– (25/5)2 = 252 / 52 = 52.

Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera:

– (a / b)-n = (b / a )n = bn / an.

– (4/5) -9 = ( 5 / 4) 9 = 59 / 44.

Octava ley: potencia de una potencia

Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia —es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican: (am)n=am*n.

Ejemplos

– (83)2 = 8 (3*2) = 86.

– (139)3 = 13 (9*3) = 1327.

– (23810)12 = 238(10 * 12) = 238120.

Novena ley: exponente fraccionario

Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz: