Question

Determinar la altura del cono círcular recto, de volumen maximo, con generatriz a dada.​

Answer 1

La altura de este cono que hace máximo su volumen es $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Explicación paso a paso:

El volumen del cono circular recto, siendo 'a' la generatriz es:

$V=\frac{1}{3}\pi.r^2h\\\\h=\sqrt{a^2-\frac{r^2}{4}}$

Por lo que si queremos una ecuación que tenga a la altura como variable, vamos a despejar de la segunda ecuación el radio:

$h^2=a^2-\frac{r^2}{4}\\\\r^2=4(a^2-h^2)$

Este valor lo reemplazamos en la expresión del volumen:

$V=\frac{4}{3}\pi(a^2-h^2).h=\frac{4}{3}\pi(a^2h-h^3)$

Para hallar el valor de la altura que hace el volumen máximo vamos a derivar respecto de 'h' esta ecuación y a igualar la derivada a 0:

$\frac{dV}{dh}=\frac{4}{3}\pi.(a^2-3h^2)\\\\a^2-3h^2=0\\\\h^2=\frac{a^2}{3}\\\\h=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Siendo este el valor de la altura para el cual el cono de generatriz 'a' tiene volumen máximo.