Question

Resolver completando el Trinomio Cuadrado Perfecto:
1/4 - 3/4x - 7/x² = 0​

Answer 1

$\bf \frac{1 }{4 } - \frac{3 }{4x } - \frac{7 }{x^2 }$

Multiplicamos a toda la ecuación por x²

• $\frac{ 1 }{ 4}x ^2 - \frac{ 3 }{ 4x }x ^2 - \frac{7}{x^2 }x ^2 = 0 \cdot x^2$

Ahora simplificamos las x

• $\frac{ 1}{4 }x ^2 - \frac{3 }{ 4}x - 7 = 0$

Para resolver la ecuación completando el cuadrado, en la expresión:

• $\rm ax ^2 + bx + c = 0$

Tenemos que dejar la x² sola, tipo así:

• $\rm x ^2 + bx + c = 0$

Eso se logra, en nuestro caso, multiplicando toda la ecuación por 4

• $4 \cdot \frac{ 1}{4 }x ^2 - 4 \cdot \frac{3 }{ 4}x - 4 \cdot 7 = 4 \cdot 0$

Y nos queda la x² sola

• $x ^2 - 3x - 28 = 0$

Pasamos el 28 al otro lado, sumando

• $x ^2 - 3x = 28$

Y dividimos el coeficiente con la x (la que está sin elevar) entre 2

• $x ^2 - \widehat{3}x = 28$

• $-3 \div 2 = \frac{3 }{ 2}$

Y el resultado lo agregamos a ambos lados de la ecuación y elevado al cuadrado

• $x ^2 - 3x + \left (-\frac{ 3}{ 2}\right)^2 = 28 + \left (-\frac{ 3}{ 2}\right)^2$

Usando:

• $\rm a ^2 \pm 2ab + b ^2 = {(a \pm b)}^{2 }$

Convertimos:

• ${\left (x - \dfrac{3 }{2 } \right) }^2 = 28 + \frac{9 }{4 }$

Y resolvemos:

• ${\left (x - \dfrac{3 }{2 } \right) }^2 = \frac{9+112 }{4 }$

• ${\left (x - \dfrac{3 }{2 } \right) }^2 = \frac{121 }{4 }$

• ${\left (x - \dfrac{3 }{2 } \right) }^2 = \left (\frac{11 }{2 }\right)^2$

Sacamos raíz a ambas partes de la ecuación:

• $\sqrt{ {\left (x - \dfrac{3 }{2 } \right) }^2} =\sqrt{ \left (\frac{11 }{2 }\right)^2}$

• $x - \frac{3 }{ 2} = \pm \frac{11 }{2 }$

• $x = \begin{cases} x_1 = \dfrac{3 }{ 2} + \dfrac{ 11}{ 2} = \dfrac{ 14}{2 } = \boxed{ 7} \\ \\ x_2 = \dfrac{ 3}{2 } - \dfrac{ 11}{2 }= \dfrac{-8 }{ 2} = \boxed{ -4} \end{cases}$