Question

Ayuda por favor en la siguiente sucesion de figuras el triangulo 1 no tiene ningún triangulo naranja interno el triangulo 2 tiene un triangulo naranja interno el triangulo 3 tiene tres triángulos naranjas internos el triangulo 4 tiene seis triángulos naranjas internos cuantos triángulos naranjas tendrá el triangulo numero 365?

Answer 1

Esto es lo que se llama una sucesión cuadrática ya que sus términos se calculan a partir de la forma de la ecuación de 2º grado pero sin igualar a cero. Es decir, hay que acudir al término enésimo   $a_n$  que se derive de esta expresión:  $a_n = an^2+bn+c$

¿Te suena esa expresión? Lo que te decía antes, es la forma de la ecuación de 2º grado.

Pues ahora hay que irse al texto y deducir de qué manera van aumentando los triángulos internos dentro de cada triángulo.

⇒⇒⇒ Triángulo nº 1 lleva 0 triángulos internos.

⇒⇒⇒ Triángulo nº 2 lleva 0+1 = 1 triángulo interno (hemos sumado 1 al nº de triángulos internos que llevaba el triángulo nº 1)

⇒⇒⇒ Triángulo nº 3 lleva 1+2 = 3 triángulos internos (hemos sumado 2 al nº de triángulos internos que llevaba el triángulo nº 2)

⇒⇒⇒ Triángulo nº 4 lleva 3+3 = 6 triángulos internos (hemos sumado 3 al nº de triángulos internos que llevaba el triángulo nº 3)

⇒⇒⇒ Triángulo nº 5 lleva 6+4 = 10 triángulos internos (hemos sumado 4 al nº de triángulos internos que llevaba el triángulo nº 4)

Es decir que podría esquematizarse así:

Triángulo nº ...      1               2              3              4              5 ...

Triang. internos... 0               1              3              6             10  ...

Se suma ...                  +1             +2            +3            +4

Se suma ...                          +1             +1           +1           

Si te das cuenta, es una sucesión dentro de otra sucesión y eso es lo que viene a determinar que sea cuadrática.

Para encontrar el término enésimo de esa sucesión hay que hacer unas operaciones muy complicadas de explicar aquí y que no soy capaz de detallar con palabras, tendría que explicarlo en presencial.

El caso es que se trata de hallar el valor de los coeficientes, (a, b, c) que lleva la fórmula del término general o enésimo que te he escrito arriba.

El valor de "a" es $\frac{1}{2}$
El valor de "b" es $-\frac{1}{2}$
El valor de "c" es $0$

Sustituyendo esos valores en la fórmula:
$a_n= \frac{ n^{2} }{2} - \frac{n}{2} +0$

Simplificando eso, la expresión queda tal que así:
$a_n= n*( \frac{n-1}{2})$  y este es el término enésimo.

Sustituyendo por el valor que nos piden, el término (triángulo) que ocupa el lugar nº 365 se llama  $a_{365}$  y sustituyendo en la fórmula hallada...

$a_{365} =365* \frac{365-1}{2} =66430$

El triángulo nº 365 tendrá 66.430 triángulos naranjas internos.

Saludos.