Question

dado un vector (3,-5), haya un vector paralelo que mida 2 unidades y otro vector perpendicular que mida 7 unidades.

Answer 1

Es sencillo. Para hallar un vector paralelo a este y que mida 2 unidades, primero hallemos un vector unitario paralelo a este
 
                          $u=\dfrac{(3,-5)}{\sqrt{3^2+(-5)^2}}\\ \\ \\ u=\dfrac{(3,-5)}{\sqrt{34}}$

Luego multiplicamos por 2
 
                            $\vec a =2\cdot \dfrac{(3,-5)}{\sqrt{34}}\\ \\ \\ \boxed{\vec a =\dfrac{(6,-10)}{\sqrt{34}}}$

ese es el vector requerido.

Para hallar un vector perpendicular, invertimos la posición de las coordenadas del vector unitario y al primer elemento le multiplicamos por -1
                         $\vec u =\dfrac{(3,-5)}{\sqrt{34}}\to \vec u^{\bot}=\dfrac{(5,3)}{\sqrt{34}}$

Luego lo multiplicamos por 7
 
                                   $\vec b=7\cdot\dfrac{(5,3)}{\sqrt{34}}\\ \\ \\ \boxed{\vec b=\dfrac{(35,21)}{\sqrt{34}}}$