Question

Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 26 metros con velocidad de 25 m/s calcular:

a. El tiempo que dura el proyectil en el aire

b. El alcance horizontal del proyectil.

c. La velocidad con que el proyectil llega al suelo​

Answer 1

a) El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.3 segundos. b) Su alcance horizontal es de 57.50 metros. c) La velocidad con la cual este llega al suelo es de 33.66 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: $\bold { V_{x} }$ , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: $\bold { V_{y} = 0 }$ , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

a) Tiempo de permanencia en el aire o de vuelo

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó horizontalmente el proyectil: $\bold{H = 26 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\bold { V_{0y} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 26 \ m }{ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 52\not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{5.30612244898 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 2.303502 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 2.3 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.3 segundos

b) Alcance horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria: para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo. Donde la velocidad inicial horizontal es de: $\bold { V_{0x} = 25 \ \frac{m}{s} }$  y el tiempo de vuelo es de: $\bold { t_{v} = 2.3 \ s }$  -hallado previamente-

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =25 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 2.3\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 57.5 \ metros}}$

El alcance horizontal $\bold { x_{MAX} }$ del proyectil es de 57.50 metros

c) Velocidad con la cual el proyectil llega al suelo

Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 2.3 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =25 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 2.3 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-22.54\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el instante de tiempo en que el proyectil llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(25 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-22.54 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{625\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +508.0516\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1133.0516\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 33.66083\ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 33.66 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la cual llega el proyectil al suelo es de 33.66 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una semiparábola