Question

si la diferencia de lugares es 65 y 40 de una progresión es 175 y que el termino de lugar 30 es 223 entonces el termino de lugar 100 de la progresión es
a._724 b._728 c._713 d._736 e._740

Answer 1

El enunciado no dice qué clase de progresión es, si aritmética o geométrica. Sobreentenderé que es aritmética (PA) a ver si sale.

Lo que intenta decir la primera parte es que entre el valor del término a₆₅ y el del término a₄₀ es de 175.

Como sabemos que en una PA, cada término se calcula a partir de sumar una cantidad fija al anterior que llamamos diferencia "d", tendremos esto:

a₄₁   =   a₄₀+d
a₄₂   =   a₄₁+d  =  (a₄₀+d)+d  =  a₄₀+2d
a₄₃   =   a₄₀+3d ... etc...
a₆₅   =   a₄₀+25d

De tal modo que si entre los valores de esos términos  a₆₅ y a₄₀ hay una diferencia de 175 y el número de lugares entre ellos es de 65-40 = 25 lugares, se puede deducir que dividiendo esa diferencia de valores entre la diferencia de lugares nos dará la diferencia de un lugar, es decir, la diferencia que necesitamos saber entre términos consecutivos.

175 : 25 = 7

Ahora sabemos que la diferencia entre dos términos consecutivos es 7

Aplicando la fórmula del término general:
$a_n=a_1+(n-1)*d$

Buscaré el término de lugar 100... a₁₀₀ ... tomando como primer término el del lugar 30 ... a₃₀ = 123  y teniendo en cuenta que desde el lugar 30 hasta el lugar 100 tenemos 100-30 = 70 términos, lo que me dice que "n" = 70

$a_{100} = a_{30} +(70-1)*7=223+483=706$

Cuya solución no veo entre tus opciones. He repasado y no encuentro el error, lo siento, pero el procedimiento y la explicación creo que vale la pena dejarlos.

Saludos.