Question

Una rueda de esmeril gira a partir del reposo alcanzando una velocidad angular de 1200 r.p.m. después de 20 s. Calcula:
a) Su aceleración angular en rad/s2
b) El número de vueltas que realiza en ese tiempo.​

Answer 1

a) La aceleración angular de la rueda es de 2 π radianes por segundos cuadrados para un tiempo de 20 segundos

b) La rueda realiza 200 revoluciones o vueltas para un tiempo de 20 segundos

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Solución

Convertimos las velocidad angular final de revoluciones por minuto a radianes por segundo

Sabemos que la rueda de esmeril gira desde el reposo por lo tanto su velocidad angular inicial es igual a cero

Luego 

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\large\boxed {\bold { \omega_{0}= 0 \ \frac{rad}{s} }}$

La velocidad angular inicial es de 0 radianes por segundo

Sabiendo que una circunferencia completa equivale a 2π radianes

Y que en 1 minuto se tienen 60 segundos

$\boxed {\bold { \omega_{f} = 1200 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{1200 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed {\bold { \omega_{f} = \frac{\not60 \ . \ 20\ \ 2 \pi }{\not60} \ \frac{rad}{s} = 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{f} =40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

a) Hallamos la aceleración angular para un tiempo de 20 segundos

Empleamos la siguiente ecuación

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}$

Donde    

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on }$

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\bold { t }\ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo transcurrido}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} -\ 0 \ \frac{rad}{s} }{ 20 \ s } }}$

$\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ 20 \ s } }}$

$\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ \not20 \ . \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ \not 20 \ s } }}$

$\large\boxed{\bold{\alpha =2\ \pi \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

La aceleración angular de la rueda es de 2 π radianes por segundos cuadrados para un tiempo de 20 segundos

b) Hallamos el número de vueltas que realiza la rueda para un tiempo de 20 segundos

Determinamos el desplazamiento angular

Empleando la ecuación:

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0} \ . \ t+ \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}$

Donde      

$\large\textsf{Desplazamiento angular } \ \ \ \bold { \theta }$      

$\large\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 0 }$

$\large\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 2 \ \pi \ rad/s^{2} }$

$\large\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 20\ s }$      

Como la rueda parte del reposo su velocidad angular inicial es igual a cero  $\bold { \omega_{0} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0} \ . \ t+ \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}$

La ecuación se reduce a:

$\large\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2}\ \alpha \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

Tomando un tiempo de 20 segundos

$\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{s^{2} } \ . \ (20 \ s) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ 2 \ \pi \ \frac{rad}{\not s^{2} } \ . \ 400 \not s ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{2 \ \pi \ . \ 400}{2} \ rad }}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{\not2 \ \pi \ . \ 400}{\not2} \ rad }}$

$\large\boxed {\bold { \theta = 400 \ \pi \ rad }}$

Determinamos la cantidad de revoluciones

Convertimos los radianes hallados en el inciso anterior a revoluciones

Dado que una circunferencia equivale a 2π radianes

$\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{400 \ \pi \ rad }{2 \ \pi \ rad } }}$

$\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{\not2 \ . \ 200 \ \not\pi \not rad }{\not2 \ \not \pi \not rad } }}$

$\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = 200 }}$

La cantidad de revoluciones o vueltas que realiza la rueda para ese instante de tiempo es de 200