Question

Dos submarinos parten de un mismo punto y toman direcciones diferentes en línea recta, entre ambas

direcciones existe un ángulo de 59 grados. Si las velocidades son de 120 km/h y 140 km/h, ¿Qué distancia

separa a los submarinos después de una hora y cuarto de recorrido?​

Answer 1

La distancia aproximada que separa a los dos submarinos después de una hora y cuarto de recorrido es de 161.51 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto desde donde salieron las dos submarinos con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria del Submarino A y el lado CA (b) la trayectoria del Submarino B donde ambos recorridos forman un ángulo de 59°.

Donde se pide hallar la distancia que separa a los dos submarinos después de una hora y cuarto de recorrido

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los submarinos para 1 hora y cuarto de trayectoria

Donde

$\bold {t = 1 \frac{1}{4} \ hora = 1.25 \ hora }$

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ .\ Tiempo } }$

Para el Submarino A

$\boxed {\bold { Distancia_{\ SUB\ A} = 120 \ \frac{km}{\not h} \ .\ 1.25\ \not h = 150 \ km} }$

Para el Submarino B

$\boxed {\bold { Distancia_{\ SUB \ B} = 140\ \frac{km}{\not h} \ .\ 1.25\ \not h = 175 \ km} }$

Habiendo hallado la distancia recorrida por cada uno de los submarinos podemos hallar la distancia que los separará después de una hora y cuarto de recorrido

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia que separa a los dos submarinos después de una hora y cuarto de recorrido

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\bold{ c^{2} = d^{2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { d^{2} =( 150 \ km)^{2} + (175 \ km)^{2} - 2 \ . \ 150 \ km \ . \ 175 \ km\ . \ cos(59)^o }}$

$\boxed {\bold { d^{2} = 22500 \ km^{2} + 30625 \ km^{2} - 52500 \ km^{2} \ . \ cos(59)^o }}$

$\boxed {\bold {d^{2} = 53125\ km^{2} - 52500 \ km^{2} \ . \ 0.5150380749100 }}$

$\boxed {\bold { d^{2} = 53125\ km^{2} - 27039.49893 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {d^{2} =26085.50107 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ d ^{2} } = \sqrt{ 26085.50107 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {d = \sqrt{ 26085.50107 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { d \approx 161.51006 \ km}}$

$\large\boxed {\bold { d \approx 161.51\ km}}$

La distancia aproximada que separa a los dos submarinos después de una hora y cuarto de recorrido es de 161.51 kilómetros

Se adjunta gráfico