Question

1. Si 20% de las piezas de televisión que
fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas. Calcular la probabilidad
de que en 5 piezas elegidas al azar se obtenga:


a)Una
pieza defectuosa


b)Ninguna defectuosa


c)A lo
mas dos piezas defectuosas

Answer 1

Respuesta:

a) 20% es 20 de cada 100 por lo que serian 2 de cada 10 y si son 5 pues la mitad

Answer 2

Hay una probabilidad de 0.4096 de que exactamente 1 pieza, de la muestra de 5, sea defectuosa, una probabilidad de 0.3277 de que ninguna pieza, de la muestra de 5, sea defectuosa y una probabilidad de  0.9421  de que a lo sumo  2  piezas, de la muestra de  5,  sean defectuosas.

¿Qué es la distribución binomial?

Vamos a considerar que cada pieza de televisión, de   n   piezas disponibles, es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si es defectuosa o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de   n   ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  
2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  
3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por    p,    permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria    X    que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y     n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:      

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde   $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$    es el número combinatorio:  

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$  

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

• X  =  Número de piezas en la muestra que son defectuosas  
• p  =  0,2   (20%)  
• n  =  5

a)  Una pieza defectuosa

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual que  1:

 

$\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}5\\1\end{array})~(0.2)^1~(1~-~0.2)^{(5~-~1)} \qquad \Rightarrow}$

P(x  =  1)  =  0.0729

Hay una probabilidad de 0.4096 de que exactamente 1 pieza, de la muestra de 5, sea defectuosa.

b)  Ninguna defectuosa

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual que  0:

 

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}5\\0\end{array})~(0.2)^0~(1~-~0.2)^{(5~-~0)} \qquad \Rightarrow}$

P(x  =  1)  =  0.0729

Hay una probabilidad de 0.3277 de que ninguna pieza, de la muestra de 5, sea defectuosa.

c)  A lo mas dos piezas defectuosas

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual que 0, 1 o 2:  

$\bold{P(x~\leq~2)~=~P(x~=~0)~+~P(x~=~1)~+~P(x~=~2) \qquad \Rightarrow}$

$\bold{P(x~\leq~2)~=~0.3277~+~0.4096~+~(\begin{array}{c}5\\2\end{array})~(0.2)^2~(1~-~0.2)^{(5~-~2)}\qquad \Rightarrow}$

Hay una probabilidad de  0.9421  de que a lo sumo  2  piezas, de la muestra de  5,  sean defectuosas.

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