Question

integrales por partes​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                  Integración por partes

Recordemos que integrar es el proceso reciproco de derivar, es decir es buscar función F(x) que al ser derivada nos hace conducir a f(x)

Para poder resolver el ejercicio, debemos tener en cuenta ciertas propiedades:

                              Integrar por partes

    $\int\limit u*v'= uv - \int\limit u'*v$

Siempre el primer paso de la integración por partes es identificar cual es "u" y cual es v', para ello recordemos la siguiente palabra: "ILATE", es decir:

I= función  inversa   (Ej:  Arco seno, etc)

L= función logarítmica  (Logaritmo natural es un ejemplo)

A= Función algebraica  

T= Función trigonométrica

E= Exponencial

La función que este primero será la "u"(siguiendo el orden mencionado anteriormente)

                           Regla de la suma

             ∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫[f(x)] dx  ±  ∫[g(x)] dx

          Producto de una constante por una función

              $\int\limit [c*f(x) ]dx= c*\int\limit[f(x) ]dx$

                  Regla de la potencia

   $\int\limit(x^{n} )dx= \frac{x^{n+1} }{n+1}$           n ≠ -1

Con estos, podemos resolver el ejercicio:

$\int\limits(2x*lnx)dx$

Por propiedad  3:

$2*\int\limits(x*lnx)dx$

Ahora debemos aplicar la integración por partes

Recuerda que en este caso:  

u= ln(x)

v'=  x  

Procedemos a resolver

Para sacar "u" y "v",  vamos a derivar "u" e integramos "v"

$\frac{d}{dx} (Lnx)= \frac{1}{x}$

Por propiedad 4:

$\int\limits(x) \, dx = \frac{x^{1+1} }{1+1} =\frac{1}{2} *x^{2}+C$

Por lo tanto, reemplazando en la formula de integración por partes, tenemos:

$ln(x) *\frac{1}{2} x^{2} -\int\limit(\frac{1}{x} *\frac{x^{2} }{2} ), dx$

$\frac{1}{2} x^{2} *ln(x) - \int\limits(\frac{x}{2})dx$

Aplicando propiedad 3 y 4 para resolver la integral, nos queda:

$\int\limits(\frac{x}{2} )dx= \frac{1}{2} *\int\limit(x)dx= \frac{1}{2} *\frac{1}{2} x^{2} = \frac{1 }{4}x^{2}$

Nos queda:

$\frac{1}{2} x^{2} *ln(x) - (\frac{1 }{4}x^{2} )$

Sin embargo, no nos olvides que atrás habíamos aplicado la propiedad 3 para sacar el "2" afuera, es decir nos queda realmente:

$2*[\frac{1}{2} x^{2} *ln(x) -\frac{1}{4} x^{2} ]$

Simplificando:

$x^{2} *ln(x)-\frac{1}{2} x^{2} +C$

*Importante siempre agregar la constante de integración

Saludoss