Question

Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3,−2,1),B(1,2,4),C(−4,0,3).yD(1,1,−7)

Answer 1

El volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3,−2,1), B(1,2,4), C(−4,0,3). y D(1,1,−7) es de 247/6 unidades de volumen.

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

$Volumen=\frac{1}{6}*det\left[\begin{array}{ccc}x_{1} &x_{2}&x_{3}\\y_{1} &y_{2}&y_{3}\\z_{1} &z_{2}&z_{3}\end{array}\right]$

El producto mixto es el valor del determinante formado por las coordenadas de los 3 vectores que conforman sus aristas, esto es: AB, AC y AD

AB= B-A =(1,2,4)-(3,−2,1) =(1-3, 2-(-2), 4-1)

AB= (-2, 4, 3) =($x_{1} , x_{2} , x_{3}$)

AC= C-A =(−4,0,3)-(3,−2,1) =(-4-3, 0-(-2), 3-1)

AC= (-7, 2, 2)=($y_{1} , y_{2} , y_{3}$)

AD= D-A =(1,1,−7)-(3,−2,1) =(1-3, 1-(-2), -7-1)

AD= (-2, 3, -8)=($z_{1} , z_{2} , z_{3}$)

Quiere decir, que el volumen del tetraedro es igual a:

$Volumen=\frac{1}{6}*det\left[\begin{array}{ccc}-2&4&3\\-7 &2&2\\-2 &3&-8\end{array}\right]$

El determinante se calcula por el método de la lluvia o otro método que conozcas.

$Volumen=\frac{1}{6}*det\left[\begin{array}{ccc}-2&4&3\\-7 &2&2\\-2 &3&-8\end{array}\right] = (-2)(2)(-8)+(4)(2)(-2)+(3)(-7)(3)-(-2)(2)(3)-(3)(2)(-2)-(-8)(-7)(4)=-247$

Por consiguiente:

$Volumen=\frac{1}{6}*247=\frac{247}{6}$

El volumen del tetraedro es de 247/6 o 41.16 unidades de volumen.

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