son para hoy porfa
1. [-8;-4) ∩ (-6;-3) =
2. (-5;2) ∩ (3;7) =
3. [4;8] ∩ [8;9] =
4. (-5;2) ∩ (2;7) =
5. (-11;-7] ∩ [-9;-5) =
Respuestas
Respuesta:
Los intervalos son conjuntos de números reales que se pueden representar gráficamente sobre la recta real.
Se pueden trabajar con las reglas de los conjuntos en general, como son el complemento, la intersección,
la unión, la diferencia y la diferencia simétrica. La comprensión de los intervalos permite el trabajo con el
dominio y el rango de relaciones y funciones.
Para tener un manejo adecuado del trabajo con intervalos, es necesario graficarlos en la recta real y escribirlos en la notación de conjuntos a partir de desigualdades.
De otro lado, la ubicación de puntos en el plano y sombreado de regiones en el mismo son aspectos que se
deben de tener en cuenta cuando se trabaja con desigualdades.
El módulo tiene los siguientes objetivos:
Objetivos generales
Operar y graficar intervalos en la recta real.
Graficar desigualdades en el plano cartesiano.
Objetivos específicos
Realizar operaciones básicas de conjuntos con intervalos.
Graficar intervalos en la recta real.
Ubicar puntos en el plano cartesiano.
Graficar desigualdades en el plano cartesiano.
Los conceptos expuestos y los ejercicios planteados son básicos para comprender conceptos fundamentales
del cálculo y de las matemáticas en general.
Universidad EAFIT Pedro Vicente Esteban Duarte
El tiempo estimado para la solución del taller es de tres (3) horas.
En su estudio y solución, le deseamos muchos éxitos.
1. Operaciones con intervalos
Los intervalos son conjuntos de números reales, por lo tanto, se pueden realizar las operaciones definidas
entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Para los conjuntos definidos como intervalos, el conjunto universal o de referencia U es el conjunto de los
números reales R. Cualquier subintervalo se denota por una letra mayúscula. Si A está contenido en los
números reales, gráficamente, se puede representar de la siguiente manera:
A
U
Figura 1: El conjunto A forma parte del conjunto universal U.
El intervalo A = [a,b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, es un subconjunto de números reales y en la recta real se
representa de la siguiente forma:
b
a
b
b
Figura 2: Intervalo A.
1.1. Complemento de un intervalo
El complemento de un conjunto A, A
′ = A
c = {x/x ∈/ A}, en palabras, se define como el conjunto de todos
los elementos que no están en A ó lo que le falta a A para ser igual al universal.
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Universidad EAFIT Pedro Vicente Esteban Duarte
A
U
A
Figura 3: El complemento del conjunto A, son todos los elementos que están por fuera de A.
El complemento de un intervalo A = [a,b], es A
′ = (−∞,a)∪(b,∞). Son todos los números reales que no
pertenecen a A. Se representa en la recta real de la siguiente manera:
bc
a
cb
b
Figura 4: Complemento del intervalo [a,b], A
′ = (−∞,a)∪(b,∞).
Note que si a ∈ A, a ∈/ A
′
, si b ∈ A, b ∈/ A
′
.
El complemento de un intervalo B = (a,b), es B
′ = (−∞,a]∪[b,∞). Son todos los números reales que no
pertenecen a B. Se representa en la recta real de la siguiente manera:
b
a
b
b
Figura 5: Complemento del intervalo (a,b) es B
′ = (−∞,a]∪[b,∞).
Note que si a ∈/ B, a ∈ B
′
, si b ∈/ B, b ∈ B
′
.
Ejemplo
Encontrar y graficar los complementos de los intervalos A = [3,5] y B = [−2,3).
Para el conjunto A, su complemento es A
′ = (−∞,3)∪(5,∞). gráficamente, se representa de la siguiente
manera:
Para el intervalo B, su complemento es B
′ = (−∞,−2)∪[3,∞) y gráficamente se representa por:
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Universidad EAFIT Pedro Vicente Esteban Duarte
La unión A∪B = (−3,0]∪(−1,2) = (−3,2), que se representa gráficamente como sigue:
Al efectuar la unión entre conjuntos, los elementos en común no se repiten.
Uno de los dos conjuntos esta totalmente contenido en el otro. En la figura siguiente, el conjunto B,
es totalmente contenido en el A.
Figura 8: A∪B, si B está totalmente contenido en A.
Ejemplo
Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2,−1]. El intervalo B, está totalmente contenido en el intervalo A.
gráficamente se representan de la siguiente manera:
La unión A∪B = (−3,0]∪[−2,−1] = (−3,0], que se representa gráficamente como sigue:
Explicación paso a paso: