Question

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica

Answer 1

Tenemos:

$\sqrt{ \frac{tan ^{2}(x) }{1+tan ^{2}(x) } } =sin(x)$

cuidado con eliminar la raíz solo porque tenemos algo al cuadrado dentro...se puede pero, hay que tener cuidado.

entonces, vamos a usar las siguiente razones trigonométricas:

$tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)}$

ésta también funciona si elevamos al cuadrado

$tan ^{2} (x)= \frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}$

además vamos a usar una identidad que no es necesario te la aprendas porque puedes demostrarla...partimos desde la siguiente identidad

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$

Dividimos todo para $cos^{2}(x)$

$\frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} + \frac{cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = \frac{1}{cos^{2}(x)} \\ \\ tan^{2}(x)+1=sec^{2}(x)$

listo, entonces como ves no es necesario aprenderse tantas fórmulas, solo saberlas demostrar...a partir de cosas sencillas...como la identidad con la partimos...bueno...

$\sqrt{ \frac{tan ^{2}(x) }{1+tan ^{2}(x) } }=\sqrt{ \frac{ \frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} }{sec ^{2}(x) } }= \sqrt{ \frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}( \frac{1}{sec^{2}(x)} ) } \\ \\ Pero:sec ^{2} (x)= \frac{1}{cos^{2}(x)} \\ \\ \sqrt{ \frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}( \frac{1}{ \frac{1}{cos ^{2}(x) } } ) }=\sqrt{ \frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}( \frac{cos ^{2}(x) }{1} }= \sqrt{sin ^{2}(x) } =sin(x)$

listo y eso es lo que queríamos demostrar...

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas