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Ejercicios resueltos
Bolet´ın 2
Campo gravitatorio y movimiento de sat´elites
Ejercicio 1
En el punto A(2,0) se sit´ua una masa de 2 kg y en el punto B(5,0) se coloca otra masa
de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que act´ua sobre una tercera masa de 5 kg cuando se
coloca en el origen de coordenadas y cuando se sit´ua en el punto C(2,4).
Soluci´on 1
En una distribuci´on de masas la fuerza resultante que act´ua sobre una de ellas es la
suma vectorial de las fuerzas con las que act´uan las dem´as masas sobre ella.
a) Al colocar la masa de m = 5 kg en O (0,0). Las masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg
interaccionan con la masa m = 5 kg con unas fuerzas que tienen de direcci´on el eje X y
sentido hacia las masas m1 y m2.
m = 2 kg 1 m = 4 kg 2
F1
F2
O(0, 0)
A(2, 0) B(5, 0)
Y
X
Aplicando la ley de gravitaci´on universal:
F~ = F~
1 + F~
2 =
G · m1 · m
r
2
1
~i +
G · m2 · m
r
2
2
~i = G · m
m1
r
2
1
+
m2
r
2
2
!
~i
Sustituyendo:
F~ = 6,67 · 10−11
· 5
2
2
2
+
4
5
2
~i = 2,20 · 10−10 ~i N
b) Al colocar la masa m = 5 kg en C(2,4). Las fuerzas que act´uan sobre la masa m
tienen de direcci´on las rectas que unen la citada masa con las otras dos y por sentido
hacia las masas m1 y m2.
F~
1 =
G · m1 · m
r
2
1
(−~j) = −
6,67 · 10−11
· 2 · 5
4
2
~j = −4,17 · 10−11 ~j N
El m´odulo de la fuerza con la que act´ua la masa m2 = 4 kg es:
F2 =
G · m2 · m
r
2
2
=
6,67 · 10−11
· 4 · 5
(
√
3
2 + 42
)
2
= 5,34 · 10−11 N
Y
O X
De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sin ϕ = 3/5 por lo que las componentes de la
fuerza que ejerce la masa m2 son:
F~
2x = F2 · sin ϕ ~i = 5,34 · 10−11
·
3
5
~i = 3,20 · 10−11 ~i N
F~
2y = F2 · cos ϕ(−~j) = −5,34 · 10−11
·
4
5
~j = −4,27 · 10−11 ~j N
La fuerza resultante que act´ua sobre la part´ıcula de masa m tiene de componentes:
F~
x = F~
2x = 3,20 · 10−11 ~i N
F~
y = F~
1 + F~
2y = −4,17 · 10−11 ~j − 4,27 · 10−11 ~j = −8,44 · 10−11 ~j N
Su m´odulo es:
|F~ | =
q
F2
x + F2
y =
q
(3,20 · 10−11)
2 + (8,44 · 10−11)
2 = 9,03 · 10−11 N
Ejercicio 2
Calcula el m´odulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre
la superficie de la Tierra. Datos: MT = 5,98 · 1024 kg, RT = 6370 km
Soluci´on 2
Aplicando la definici´on de intensidad del campo gravitatorio y como la Tierra se com-
porta como una part´ıcula con su masa concentrada en su centro, se tiene:
g =
G · MT
r
2
=
G · MT
(RT + h)
2
Sustituyendo:
g =
6,67 · 10−11
· 5,98 · 1024
(6,37 · 106 + 105
)
2
= 9,53 N/kg
F
2
F
2y
F
1
m = 2 kg 1
A(2, 0)
m = 4 kg 2
B(5, 0)
C(2, 4)
ϕ
ϕ
Y
O X
De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sin ϕ = 3/5 por lo que las componentes de la
fuerza que ejerce la masa m2 son:
F~
2x = F2 · sin ϕ ~i = 5,34 · 10−11
·
3
5
~i = 3,20 · 10−11 ~i N
F~
2y = F2 · cos ϕ(−~j) = −5,34 · 10−11
·
4
5
~j = −4,27 · 10−11 ~j N
La fuerza resultante que act´ua sobre la part´ıcula de masa m tiene de componentes:
F~
x = F~
2x = 3,20 · 10−11 ~i N
F~
y = F~
1 + F~
2y = −4,17 · 10−11 ~j − 4,27 · 10−11 ~j = −8,44 · 10−11 ~j N
Su m´odulo es:
|F~ | =
q
F2
x + F2
y =
q
(3,20 · 10−11)
2 + (8,44 · 10−11)
2 = 9,03 · 10−11 N
Ejercicio 2
Calcula el m´odulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre
la superficie de la Tierra. Datos: MT = 5,98 · 1024 kg, RT = 6370 km
Soluci´on 2
Aplicando la definici´on de intensidad del campo gravitatorio y como la Tierra se com-
porta como una part´ıcula con su masa concentrada en su centro, se tiene:
g =
G · MT
r
2
=
G · MT
(RT + h)
2
Sustituyendo:
g =
6,67 · 10−11
· 5,98 · 1024
(6,37 · 106 + 105
)
2
Una part´ıcula de masa m1 = 2 kg est´a situada en el origen de un sistema de referencia
y otra part´ıcula de masa m2 = 4 kg est´a colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo
gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4) y la fuerza que act´ua sobre una
part´ıcula de 3 kg de masa situada en el punto C.
Soluci´on 3
Aplicando el principio de superposici´on, el campo gravitatorio en un punto es igual a
la suma vectorial de los campos individuales que act´uan en ese punto.
m = 2 kg 1
O(0, 0)
m = 4 kg 2
A(6, 0)
ur1
ur g1 g2 2
Y
X
B(3, 0)
a) Campo gravitatorio en el punto B(3,0).
~g1 = −G
m1
r
2
1
~ur1 = −G
2
3
2
~i = −G
2
9
~i
~g2 = −G
m2
r
2
2
~ur2 = −G
4
3
2
(−~i) = G
4
9
~i
Sumando:
~gB = ~g1 + ~g2 = −G
2
9
~i + G
4
9
~i = G
2
9
~i = 1,48 · 10−11 ~i N/kg
b) Campo gravitatorio en el punto C(3,4). El punto C est´a situado a la misma distancia
de cada una de las part´ıculas, aplicando el teorema de Pit´agoras: d = 5 m. Los m´odulos
de los campos creados por cada una de las part´ıculas son:
g1 = G
m1
r
2
1
= G
2
5
2
= G
2
25
g2 = G
m2
r
2
2
= G
4
5
2
= G
4
25
Teniendo en cuenta la figura para determinar las relaciones trigonom´etricas de los
respectivos ´angulos y aplicando el principio de superposici´on, se tiene:
~g1x = ~g1 · sin ϕ1 · (−~i) = −G
2
25
3
5
~i = −G
6
125
~i
~g2x = ~g2 · sin ϕ2 ·~i = G
4
25
3
5
~i = G
12
125