Un satélite de media tonelada gira en una órbita circular alrededor de la
Tierra a 2630 km de altura. Calcula:
a) La fuerza que lo mantiene en órbita.
b) Su aceleración centrípeta y su velocidad.
DATOS: = 5,97 · 1024 ; = 6370 ; = 6,67 · 10−11 · 2·−2
Sol.: ) = 2462 ;) = 4,92 Τ^2; = 6654 Τ
Respuestas
Respuesta:Aplicando al sat´elite la segunda ley de Newton y como la ´unica fuerza que act´ua
sobre ´el es la interacci´on gravitatoria, se tiene:
XF~ = m · ~aN
G
MT · ms
r
2
= ms
v
2
r
Despejando y como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene que la velocidad orbital es:
v =
s
G · MT
r
=
s
g0 · R2
T
r
=
s
9,8 · (6,38 · 106)
2
6,38 · 106 + 500 · 103
= 7,6 · 103 m/s
11
El periodo de revoluci´on es
T =
2 π r
v
=
2 π (6,38 · 106 + 500 · 103
)
7,6 · 103
= 5687,9 s ≈ 1,6 h
b) Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa entre la superficie de la Tierra y
la ´orbita del sat´elite, se tiene que el trabajo realizado es igual a la variaci´on de la energ´ıa
mec´anica del sat´elite.
Wrealizado = ∆Ec + ∆Ep = Emecanica final ´ − Emecanica inicial ´ = Eorbita ´ − Esuperficie
La energ´ıa asociada al sat´elite en ´orbita es:
Eorbita ´ = Ep,orbita ´ + Ec,orbita ´ = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms · v
2
orbital
Sustituyendo la velocidad orbital por su valor:
v
2
orbital =
G · MT
r
Eorbita ´ = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms ·
G · MT
r
= −
1
2
G · MT · ms
r
Operando y sustituyendo:
Eorbita ´ = −
1
2
· g0 · R
2
T
ms
r
= −
1
2
9,8 · (6,38 · 106
)
2
250
6,38 · 106 + 500 · 103
= −7,25 · 109
J
Si se considera que el sat´elite se lanza siguiendo la vertical, sin aprovechar el movimiento de rotaci´on de la Tierra, la velocidad inicial en la superficie de la Tierra es igual
a cero y la energ´ıa asociada a la posici´on del sat´elite sobre la superficie de la Tierra es
solamente potencial:
Esuperficie = Ep,superficie = −
G · MT · ms
RT
= −g0 · RT · ms
Sustituyendo:
Esuperficie = −9,8 · 6,38 · 106
· 250 = −1,56 · 1010 J
Por tanto, la energ´ıa necesaria para poner el sat´elite en ´orbita es:
Wrealizado = ∆E = Eorbita ´ − Esuperficie = −7,25 · 109 − (−1,56 · 1010) = 8,35 · 109
J
Explicación: