Question

Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice este sobre la recta 2y-3x=0, que su eje sea paralelo al de coordenadas x, y que pase por los puntos (3,5) y
(6, -1).

Answer 1

Hola !

La ecuación de una parábola de vértice (h, k), foco en (h+p, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: 

$(y - k)^{2} = 4p (x - h)$       (1)
    

El vértice (h, k) se halla en la recta dada, sus coordenadas satisfacen la ecuación:
$2k-3h=0 --\ \textgreater \ k= \frac{3h}{2}$      [2]

Reemplazando en la ecuación de la parábola:

 $(y +\frac{3h}{2} )^{2} = 4p (x - h)$

Además, dado que la curva pasa por los puntos (3, 5) y (6, -1), se tiene 

$(5 +\frac{3h}{2} )^{2} = 4p (3 - h)$

$(-1 +\frac{3h}{2} )^{2} = 4p (6 - h)$

Sistema de dos ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas que por sus resolventes nos deja las raíces.

 

h1 = -4.2902      p1 = 0.0706
h2 = 3.0457       p2 = -500.85967 

Las que reemplazadas en la [2], resulta 

k1 =  -6.4353
k2 =  4.56855

Y que sustituidas en la [1]:

(y +6.4353)² = 0.0706 (x +4.2902) 
(y + 4.56855)² =  -500.85967  (x - 3.0457) 

Saludos !