Question

a) Desde la parte más alta de una torre de 50 metros de altura se observa una lancha en un lago. El ángulo de depresión de la lancha es de 35 grados. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la lancha?

Answer 1

La lancha se encuentra a una distancia de aproximadamente 71.407 metros de la base de la torre

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un  triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura de la torre - donde de su parte más alta se observa a una lancha en un lago , el lado AC que representa la distancia desde la base de torre hasta la lancha y el lado AB que es la longitud visual desde lo alto de la torre a la lancha, con un ángulo de depresión de 35°

Donde se pide hallar:

A que distancia de la base de la torre se encuentra la lancha

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 35° al punto A para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura de la torre y de un ángulo de depresión de 35°

• Altura de la torre = 50 metros

• Ángulo de depresión = 35°

• Debemos hallar la distancia desde la base de la torre y la lancha

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto  y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado BC = altura del la torre), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 35° y debemos hallar a que distancia de la base de la torre se encuentra la lancha, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(35)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(35)^o = \frac{altura \ de \ la \ torre }{ distancia\ de \ la \ torre \ a \ lancha } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ de \ la \ torre \ a \ la \ lancha = \frac{altura \ de \ la \ torre }{ tan(35)^o } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ de \ la \ torre \ a \ la \ lancha = \frac{ 50 \ metros }{ tan(35)^o } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ de \ la \ torre \ a \ la \ lancha = \frac{ 50 \ metros }{ 0.7002075382097 } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ de \ la \ torre \ a \ la \ lancha \approx 71.4074003 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia\ de \ la \ torre \ a \ la \ lancha \approx 71.407 \ metros}}$

La lancha se encuentra a una distancia de aproximadamente 71.407 metros de la base de la torre