Question

Encuentre el valor promedio de la función f(x)=1-x^2 en el intervalo [-1, 2].

Answer 1

Para calcular el promedio de una función usamos la siguiente fórmula, la interpretación de la fórmula y la teoría correspondiente tienes que saberla, aunque es bastante intuitiva....en todo caso, revísala...

$Promedio= \frac{1}{b-a} \int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

ya nos dan el intervalo, en donde:
a=-1
b=2

entonces

$Promedio= \frac{1}{(2)-(-1)} \int\limits^-_2 {1- x^{2} } \, dx \\ Promedio= \frac{1}{3} \int\limits^-_2 {1- x^{2} } \, dx = \frac{1}{3}(x- \frac{ x^{3} }{3}) ] \limits^-_2$

Usando el teorema fundamental del cálculo

$F(b)-F(a) \\ \frac{1}{3}((2)- \frac{ (2)^{3} }{3} ) -\frac{1}{3}((-1)- \frac{ (-1)^{3} }{3} ) \\ \\ \frac{1}{3}(- \frac{ 2}{3} ) -\frac{1}{3}(- \frac{ 2 }{3} ) \\ - \frac{2}{9}+ \frac{2}{9} =0$

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas