Usted quiere cruzar una sección recta de un rio que tiene una corriente uniforme de 5.33m/s y una anchura de 127m. Su lancha de motor puede generar una rapidez de 17.5m/s. Suponga que alcanza una rapidez máxima de inmediato(condiciones ideales).
A) Si usted quiere atravesar en forma directa el rio con un ángulo de 90° relativo a la libera. ¿A que ángulo relativo ala ribera debe usted enfilar su lancha?
B) ¿Cuánto tardara en cruzar el rio de esta manera?
C) ¿En que dirección debe apuntar su lancha para lograr un tiempo mínimo de cruce?
D ¿Cuál es el tiempo mínimo para cruzar el rio?
E ¿Cuál es la rapidez mínima de su lancha que todavía le permitirá cruzar el rio con un ángulo de 90° relativo a la libera?
Respuestas
Respuesta:
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.
Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.
El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c)
El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)
El tiempo total es

Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.
Ejemplo 2
En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos:
Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente c
Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente c
Primer caso: v>c
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.
¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?
Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.
Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.
El resultado de la suma V=v+c es
Vj=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci
o bien,
0=c+v·cosθ
V=v·senθ
El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v.
La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.

El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será

Con los datos del problema,
La velocidad del bote respecto de tierra es de .
El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.
El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 s
Segundo caso: v<c
Cuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.

La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c
V=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·senθ j
El tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla es

La desviación mínima x se produce para el ángulo

El tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θm es

El tiempo es mínimo, para el ángulo 2θm=270, θm=135º
El tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ángulo θm=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x es

Ejemplo
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s.
El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θm=138.6º, la desviación mínima es xm=88.2 m, el tiempo de viaje es t=50.4 s
Si la velocidad del bote es v=-c·cos135, , el ángulo que produce la desviación mínima es θm=135º, la desviación mínima es xm=100 m, el tiempo de viaje de ida es tm=50.0 s