Question

Problema 3: Determinar el área del siguiente triángulo sabiendo que el ángulo A = 55º, el lado AC = 70 cm y el

lado BC= 65 cm con pitagora​

Answer 1

                        LEY  DEL  SENO

              y  FÓRMULA  DE  HERÓN

Este ejercicio se resuelve usando la ley del seno para conseguir calcular el valor del lado que nos falta, la cual, a su vez, se deduce del teorema archiconocido de ese matemático griego a que haces referencia.

Una vez conocido el tercer lado, se usa la fórmula de Herón para calcular el área.

Dicha ley dice que en cualquier triángulo existe una relación de proporcionalidad entre los lados y los senos de sus ángulos opuestos, es decir que si ves la figura que adjunto abajo se puede afirmar esto:

$\dfrac{a}{sen\ A} =\dfrac{b}{sen\ B} =\dfrac{c}{sen\ C}$

Para nuestro caso, conocemos los lados:

• a = 65 cm.
• b = 70 cm.

Y conocemos el ángulo:

• ∡A = 55º

Calculo primero el seno de A  (55º)  usando la calculadora científica o, a falta de ella, usando las tablas trigonométricas que en Internet hay muchas páginas que las muestran.

La calculadora me dice que:  sen 55º = 0,82  (aproximando en las centésimas)

Sustituyo datos en la fórmula anterior:

$\dfrac{65}{0,82} =\dfrac{70}{sen\ B} \\ \\ \\ sen\ B=\dfrac{70\times0,82}{65}=0,88$

De nuevo con la calculadora o las tablas, uso la función inversa para saber a qué ángulo pertenece el valor hallado de 0,88 y me dice que se trata de un ángulo de 62º (aproximando en las décimas) así que:

∡B = 62º  

Conocido el segundo ángulo del triángulo, dado que siempre los tres ángulos suman 180º, se puede calcular el tercero.

∡C = 180 - (55+62) = 63º

Finalmente nos queda calcular el lado "c" que también podemos obtenerlo con la misma ley del seno pero para ello antes hay que saber el valor del seno de C  (63º)  y la calculadora me dice:

sen 63º = 0,9 (aproximando en las centésimas)

Aplico la ley mencionada:

$\dfrac{70}{0,88} =\dfrac{c}{0,9}\\ \\ \\ c=\dfrac{70\times0,9}{0,88} =70,87\ cm.$

Por tanto:

Lado c = 70,87 cm.

Conocidos los tres lados, para calcular el área se recurre a la fórmula de Herón que usa esas medidas para ello y dice:

$A=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$

Siendo "p" el semiperímetro del triángulo. Lo calculo:

$p=\dfrac{70+65+70,87}{2} =102,9$

Sustituyo en la fórmula:

$A=\sqrt{102,9\times (102,9-65)\times (102,9-70)\times (102,9-70,87)}= \\ \\ =\sqrt{4109674,45917} =\boxed{\bold{2.027\ cm^2}}$

PD: Quizá haya un procedimiento más corto pero yo no lo conozco.