Question

Los lados de un triángulo isósceles miden 5, 5 y 6 cm. Encontrar la razón de las áreas de los círculos inscrito y circunscrito​

Answer 1

La relación entre las áreas de los círculos inscrito y circunscrito es 0,2304.

Explicación paso a paso:

El círculo circunscrito pasa por los vértices del triángulo y el círculo inscrito es tangente a los tres lados. La razón entre las áreas es:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{\pi.r_A^2}{\pi.r_B^2}=\frac{r_A^2}{r_B^2}$

En cuanto al círculo inscrito, el área del triángulo es igual al producto entre el semiperímetro y el radio de este. Como el triángulo isósceles tiene simetría axial en relación a la altura relativa al lado desigual (el de 6cm) esta altura es:

$h=\sqrt{5^2-3^2}=4cm$

Y el área es:

$A=\frac{b.h}{2}=\frac{6cm.4cm}{2}=12cm^2$

Y el radio del círculo inscrito es:

$A=s.r=\frac{1}{2}(l_1+l_2+l_3).r\\\\r=\frac{2A}{l_1+l_2+l_3}=\frac{2.12cm^2}{5cm+5cm+6cm}=1,5cm$

Y el radio del círculo circunscrito está relacionado con el área y el producto entre los 3 lados:

$r=\frac{l_1.l_2.l_3}{4A}=\frac{5cm.5cm.6cm}{4.12cm^2}=3,125cm$

Y la relación entre las áreas de los círculos inscrito y circunscrito es:

$\eta=\frac{(1,5cm)^2}{(3,125cm)^2}=0,2304$