Question

¿Pueden ayudarme con ejercicios de Límites?
(Hace rato hice la misma pregunta pero no pude agregar la imagen :'( )

Answer 1

Tenemos:

$\lim_{x \to \(3} \frac{ x^{3}-27 }{x-3}$

factoricemos el numerador:

$\frac{ x^{3}-27 }{x-3}= \frac{(x-3)( x^{2} +3x+9)}{(x-3)} = x^{2} +3x+9 \\ \\ \lim_{x \to \(3} ( x^{2} +3x+9)= (3)^{2} +3(3)+9=27$

para el siguiente:

$\lim_{x \to \(-7} \frac{ x^{2} -49}{x+7} \\ \\ Factorizando: \\ \frac{(x+7)(x-7)}{(x+7)} =(x-7) \\ \\ \lim_{x \to \(-7} (x-7)=-7-7=-14$

para el siguiente:

$\lim_{x \to \infty} \frac{ x^{3}-5x-44 }{ x^{2} -72}$

está claro que si reemplazamos el infinito donde esté la"x"..nos va a quedar una indeterminación del tipo $\frac{ \infty}{ \infty}$

Bueno, factorizar al parecer no nos ayuda para nada...lo que vamos a hacer es tratar de forman el siguiente límite:

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{1}{x} )=0$

estás de acuerdo con ésto?...es como que si divido cualquier número para un número super hiper recontra grande...es como que se aproxima demaciado a cero...entonces trataremos de formar término de ésta forma...

para eso, vamos a dividir el numerador y denominador para $x^{2}$

si dividimos A TODO la expresión para un determinado término entonces no pasa nada...

$\frac{ \frac{ x^{3} }{ x^{2} }- \frac{5x}{ x^{2} }- \frac{44}{ x^{2} } }{ \frac{ x^{2} }{ x^{2} }- \frac{72}{ x^{2} } } = \frac{x- \frac{5}{x}- \frac{44}{ x^{2} } }{1- \frac{72}{ x^{2} } }$

mira que ya tenemos término de la forma que queríamos, no importa que esté elevado al cuadrado...es como que si infinito es número grande entonces elevado al cuadrado es recontra más grande...entonces igual se aplica el mismo criterio, ahora si calculando ese límite:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x- \frac{5}{x}- \frac{44}{ x^{2} } }{1- \frac{72}{ x^{2} } }=\frac{\infty- \frac{5}{\infty}- \frac{44}{ (\infty)^{2} } }{1- \frac{72}{ (\infty)^{2} } }= \frac{\infty-0-0}{1-0} = \frac{\infty}{1} =\infty$

y eso sería todo....

para el siguiente:

$\lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{5}+4 x^{2} -8 }{3- 2x^{5} }$

igualemente, nos va a quedar la misma indeterminación, entonces...hacemos lo mismo dividimos TODO para el "x"...de mayor grado...en éste caso es 5

$\frac{7 \frac{x^{5} }{x^{5} } +4 \frac{x^{2}}{x^{5}} - \frac{8}{x^{5}} }{ \frac{3}{x^{5}} - 2\frac{x^{5}}{x^{5}} }= \frac{7+4 \frac{1}{ x^{3} }- \frac{8}{x^{5}} }{ 3\frac{1}{x^{5}}-2 }$

ahora si podemos calcular ese límite...

$\lim_{x \to \infty} \frac{7+4 \frac{1}{ x^{3} }- \frac{8}{x^{5}} }{ 3\frac{1}{x^{5}}-2 }=\frac{7+4 \frac{1}{ (\infty)^{3} }- \frac{8}{(\infty)^{5}} }{ 3\frac{1}{(\infty)^{5}}-2 }= \frac{7+0-0}{0-2} =- \frac{7}{2}$

mira que no importa que esté elevado a la quinta...es como que eso es muchísmo más grande....entonces se hace cero....jaja...

finalmente para el último:

$\lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{4}+ x^{2} }{3 x^{4} +3 x^{3} -3x-3}$

hacemos lo mismo, dividimos para la "x"..de mayor grado en éste caso es de cuarto grado...

$\frac{9 \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} }{3 \frac{x^{4}}{x^{4}} +3 \frac{x^{3}}{x^{4}} -3 \frac{x}{x^{4}} - \frac{3}{ x^{4} } }= \frac{9+ \frac{1}{ x^{2} } }{3+ \frac{3}{x}- \frac{3}{ x^{3} }- \frac{3}{x^{4}} }$

ya podemos calcular éste límite:

$\lim_{x \to \infty}\frac{9+ \frac{1}{ x^{2} } }{3+ \frac{3}{x}- \frac{3}{ x^{3} }- \frac{3}{x^{4}} } =\frac{9+ \frac{1}{ (\infty)^{2} } }{3+ \frac{3}{\infty}- \frac{3}{ (\infty)^{3} }- \frac{3}{(\infty)^{4}} } = \frac{9+0}{3+0-0-0} =3$

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas