Question

ayudenme por favor con estos ejecicios de calculo integral. De integrales inmediatas, prefereiblemente con procedimiento y formulas aplicadas.

Adjunto archivo de word.

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Answer 1

Tenemos los siguientes ejercicios:

$\int\limits {cos(b+ax)} \, dx$

Vamos a integrar por sustitución:

$Consideremos: \\ u=b+ax \\ Derivemos: \\ du=adx \\ Despejamos: \\ dx= \frac{du}{a} \\ \\ Reemplacemos: \\ \\ \int\limits{cos(u)} \, \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int\limits{cos(u)} \, du = \frac{1}{a} (sin(u))+C \\ \\ Pero:u=b+ax \\ \frac{sin(b+ax)}{a} +C$

Propiedades usadas:
$\int\limits{kf(x)} \, dx =k \int\limits {f(x)} \, dx$

para el siguiente:
$\int\limits {10 e^{-6x} } \, dx =10 \int\limits{ e^{-6x} } \, dx =10(- \frac{ e^{-6x} }{6} )=- \frac{5}{3} e^{-6x} +C$

Propiedades usadas:
$\int\limits {kf(x)} \, dx =k \int\limits {f(x)} \, dx \\ \int\limits { e^{nx} } \, dx = \frac{ e^{nx} }{n} +C$

para el siguiente:

$\int\limits {17 \sqrt{ e^{t}+ t^{2} } } \, dx=0$

según tu cuadernos el diferencial, es "dx"...y tiene una integral en función de "t"...entonces esa integral es igual a a cero, porque el diferencial no coincide con la expresión...tenía que haber estaba ahí un "dt"...

para el siguiente:

$\int\limits { \frac{a}{cos ^{2}(bx) } } \, dx =a \int\limits { \frac{1}{cos ^{2}(bx) } } \, dx \\ \\ Pero: \frac{1}{cos ^{2}(x) } =sec ^{2}(x) \\ \\ a \int\limits{sec ^{2}(bx) } \, dx = \frac{a}{b} (tan(bx))+C$

ahí aplicamos una integral directa...que es la integral de la secante cuadrada...que es igual a la tangente del ángulo...

para el siguiente:

$\int\limits {cos(mx)} \, dx = \frac{sin(mx)}{m} +C$

para el siguiente:

$\int\limits {tan(bx)} \, dx \\ \\ Pero:tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)} \\ \\ \int\limits { \frac{sin(bx)}{cos(bx)} } \, dx \\ \\ Consideremos: \\ u=cos(bx) \\ Derivemos: \\ du=-(b)sin(bx)dx \\ Despejemos: \\ dx=- \frac{du}{(b)sin(bx)} \\ \\ Reemplacemos: \\ \\ \int\limits { \frac{sin(bx)}{u} } \, (-\frac{du}{bsin(bx)}) = \int\limits {- \frac{1}{bu} } \, du = -\frac{1}{b} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du=- \frac{1}{b} (ln|u|)+C \\ \\ Pero:u=cos(bx) \\ - \frac{1}{b} ln(|cos(bx)|)+C$
Propiedades usadas:

$\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx =ln(|x|)+C$

para el siguiente:

$\int\limits {csc(u)} \, du$  (ver la primera imagen)

para el siguiente:

$\int\limits { \frac{1}{sin(x)} } \, dx \\ \\ Pero: \frac{1}{sin(x)} =csc(x)$

es la misma integral que el ejercicio anterior...

para el siguiente:

$\int\limits {xcos( x^{2} )} \, dx \\ \\ Consideremos: \\ u= x^{2} \\ Derivemos: \\ du=2xdx \\ Despejemos: \\ dx= \frac{du}{2x} \\ Reemplacemos: \\ \\ \int\limits{xcos( u)} \, \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int\limits {cos(u)} \, du= \frac{1}{2} sin(u)+C \\ \\ Pero:u= x^{2} \\ \frac{1}{2}sin( x^{2} ) +C$

para el siguiente:

$\int\limits {sin( \frac{2}{3}x )} \, dx =- \frac{cos( \frac{2}{3}x )}{ \frac{3}{2} } =- \frac{3}{2} cos( \frac{2}{3} x)+C$

para el siguiente:

$\int\limits{ \frac{1}{tan(5t)} } \, dt \\ Pero:tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)} \\ \\ \int\limits { \frac{1}{ \frac{sin(5t)}{cos(5t)} } } \, dt= \int\limits { \frac{cos(5t)}{sin(5t)} } \, dt \\ \\ Consideremos: \\ u=sin(5t) \\ Derivemos: \\ du=5cos(5t)dt \\ Despejamos: \\ dt= \frac{du}{5cos(5t)} \\ \\ Reemplazamos: \\ \\ \int\limits { \frac{cos(5t)}{u} } \, ( \frac{du}{5cos(5t)} )= \frac{1}{5} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du= \frac{1}{5} (ln(|u|))+C \\ \\ Pero:u=sin(5t)$

$\frac{1}{5} (ln|sin(5t)|)+C$

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas