Question

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ () =() + .

Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales

Answer 1

La integral da arcsen (1/x)
Corregida ;)

Answer 2

Si una función g(x) cumple con la condición:  

g’(x) = f(x)  

se dice que g(x) es una antiderivada de f(x).  

f(x) puede tener más antiderivadas si existe una constante C ∈ R que generaliza g(x) como el conjunto g(x) + C.  

Al conjunto de antiderivadas se le denomina integral indefinida de la función f(x) y se denota por:  

∫f(x)dx = g(x) + C  

Desarrollo de la respuesta:

Vamos a aplicar la definición anterior para hallar, aplicando las propiedades básicas, la siguiente integral:  

$\int {({\frac{1}{ \sqrt{1-x^{2}}})}\,dx$

1.- Integral inmediata  

El integrando es la función derivada de una función inversa trigonométrica, por lo que se conoce una fórmula de integración inmediata para ella:  

$\int {\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx=ArcSen(\frac{x}{a})+C$  

2.- Solución de la integral

La constante  a²  que aparece en la fórmula corresponde al número uno en la integral que queremos resolver, por lo tanto:  

$\int {\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\bold{ArcSen(x)+C}$

En resumen, la constante C generaliza el resultado a una familia de funciones o conjunto de antiderivadas. Al conjunto de antiderivadas se le denomina Integral indefinida.  

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Asignatura: Estadística y Cálculo  

Nivel: Universitaria