Una empresa de transporte intermunicipal utiliza buses viejos y nuevos. La variable aleatoria X representa el número de buses nuevos que utiliza la empresa. La variable tiene la siguiente función acumulada de probabilidad
0 0,4294 0,8439 0,9809 0,9992 1 x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 x≥4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los buses sea nuevo?
Respuestas
Por ejemplo, si los autobuses pasan con una frecuencia de 4 a la hora, puedes esperar que pase un bus cada 15 minutos de media, con algunas fluctuaciones alrededor de este valor debidas a las condiciones del tráfico. Por tanto, llegando a la parada de bus de modo aleatorio tendriamos que experar una media de 15/2 =7.5 minutos. Pero yo siempre tengo la impresión de esperar más de 15 minutos. ¿Cómo puede ser? ¿Tan mala suerte tengo que siempre llego a la parada del autobús cuando el autobus acaba de partir?
La respuesta a esta pregunta es la famosa paradoja del tiempo de espera en la teoría de colas: para simplificar, supongamos que el tiempo entre dos autobuses viene dado por la variable T. En un mundo ideal T sería una variable determinista. En el ejemplo que comentamos antes, T=15 minutos. Sin embargo, debido a las condiciones de tráfico y otros imprevistos, T se distribuye alrededor de los 15 minutos. El siguiente gráfico muestra la “tardanza” en las frecuencias de los autobuses en Gran Bretaña, extraido del informe de la Estadística de la Puntualidad del Autobús en Gran Bretaña, 2007.
Como podemos ver, aunque la mayor parte de los autobuses sólo se retrasa menos de un par de minutos, hay una fracción significativa de ellos que llegan tarde más de 5 minutos. ¡E incluso algunos de ellos que vienen antes de tiempo! Asumiendo que nuestro autobús llega a la parada en intervalos de tiempo T obtenidos de una distribución P(T), veamos lo que tendríamos que esperar en la parada del autobús. El siguiente gráfico muestra la línea temporal de llegadas de autobuses a una misma parada:
Los autobuses llegan a la parada del autobús (líneas verticales) con una frecuencia de tiempo entre ellos dada por Ti. Después de dejar el coche en el taller, llego a la parada del bus a la hora marcada por la flecha vertical, así que tengo que esperar un tiempo t. La cuestión es ¿cúal es el valor promedio del tiempo de espera t? Si suponemos que mi coche se rompe aleatoriamente, podemos asumir que mi hora de llegada es aleatoria también, independiente del horario del autobús. Sin embargo, si la hora a la que llego a la parada del autobús es aleatorio, tengo más probabilidades de llegar a la parada del bus a un intervalo en el que el tiempo entre autobuses T sea mayor. Específicamente la probabilidad de que llegue a la parada en un intervalo en el que el tiempo entre autobuses es T viene dada por
\displaystyle{\frac{T P(T)}{\overline{T}}}Respuesta:
Explicación: