Respuestas
Respuesta dada por:
0
¿Cuál es la raíz cúbica de 3? No lo sabemos, por lo tanto, es una incógnita, que llamaremos x,
. ._
∛3 = x
elevando al cubo toda la igualdad resulta:
3 = x³
Restando 3 a cada miembro resulta:
0 = x³ – 3
es decir,
x³ – 3 = 0
Un teorema dice que, todas las ecuaciones de la forma
x³ + a = 0 .............. ❶
en donde a es un número real, tienen una raíz real y dos complejas conjugadas, y que la real vale:
.. . . . .___
x₁ = ∛ – a
aplicando a nuestro caso:
.. . . . ._____
x₁ = ∛ – (– 3)
.. . . . .__
x₁ = ∛ 3 ≈ 1,44224957...
Continúa el teorema diciendo que, las otras dos raíces se obtienen buscando las raíces del trinomio de 2.º grado que resulta de dividir la expresión ❶ entre x – x₁ .
Aplicación de esto último:
. . . 1. . . 0. . . 0. . . . –3
. . . . . .∛3 . . ∛9 . . .3
∛3-----------------------------
. . .1. . ∛3. ∛9. . . // 0
Luego el trinomio de 2.º grado es:
. . . . . _. . ... ._
x² + ∛3 x + ∛9 = 0
Resolviendo,
..........._....__________
.....– ∛3±√ ∛9–4•1•∛9
x₂,₃ = ------------------------
............... 2 • 1
..........._....._____
.....– ∛3± i√ 3 ∛9
x₂,₃ = ----------------
............... 2
.................__...........____
x₂ = –0,5 ∛3 + i 0,5√ 3∛9
.................__...........____
x₃ = –0,5 ∛3 – i 0,5√ 3∛9
En resumen:
no hay una única respuesta a tu pregunta:
no sólo 1,44224957... es una raíz cúbica de 3, sino también las dos complejas conjugadas que acabamos de ver.
Otra manera de hacerlo:
Escribimos 3 en forma polar, luego polar con todos sus argumentos:
3 ⇒ 3
. . . . .2πk
Busquemos las raíces cúbicas de 3:
. .___
∛3. . . = s ⇒
. . 2πk. . .β
3. . . = s³
.2πk. . 3β
CÁLCULO DEL MÓDULO s
.... . . . . . . . . .__
3 = s³ ⇒ s = ∛3
CÁLCULO DE LOS ARGUMENTOS
Hay infinitos, pero esencialmente distintos sólo hay tres, para sendas tres raíces cúbicas que tiene el número natural 3.
2π
---- • k = β
3
k = 0 ⇒ β = 0
k = 1 ⇒
. . . 2π
β = ----
. . . 3
k = 2 ⇒
. . . 4π
β = ----
. . . 3
LAS RAÍCES CÚBICAS DE 3,
EXPRESADAS EN FORMA POLAR:
(∛3)₀
(∛3)
. . . 2π
. . . -----
. . . . 3
(∛3)
. . . 4π
. . . -----
. . . . 3
. ._
∛3 = x
elevando al cubo toda la igualdad resulta:
3 = x³
Restando 3 a cada miembro resulta:
0 = x³ – 3
es decir,
x³ – 3 = 0
Un teorema dice que, todas las ecuaciones de la forma
x³ + a = 0 .............. ❶
en donde a es un número real, tienen una raíz real y dos complejas conjugadas, y que la real vale:
.. . . . .___
x₁ = ∛ – a
aplicando a nuestro caso:
.. . . . ._____
x₁ = ∛ – (– 3)
.. . . . .__
x₁ = ∛ 3 ≈ 1,44224957...
Continúa el teorema diciendo que, las otras dos raíces se obtienen buscando las raíces del trinomio de 2.º grado que resulta de dividir la expresión ❶ entre x – x₁ .
Aplicación de esto último:
. . . 1. . . 0. . . 0. . . . –3
. . . . . .∛3 . . ∛9 . . .3
∛3-----------------------------
. . .1. . ∛3. ∛9. . . // 0
Luego el trinomio de 2.º grado es:
. . . . . _. . ... ._
x² + ∛3 x + ∛9 = 0
Resolviendo,
..........._....__________
.....– ∛3±√ ∛9–4•1•∛9
x₂,₃ = ------------------------
............... 2 • 1
..........._....._____
.....– ∛3± i√ 3 ∛9
x₂,₃ = ----------------
............... 2
.................__...........____
x₂ = –0,5 ∛3 + i 0,5√ 3∛9
.................__...........____
x₃ = –0,5 ∛3 – i 0,5√ 3∛9
En resumen:
no hay una única respuesta a tu pregunta:
no sólo 1,44224957... es una raíz cúbica de 3, sino también las dos complejas conjugadas que acabamos de ver.
Otra manera de hacerlo:
Escribimos 3 en forma polar, luego polar con todos sus argumentos:
3 ⇒ 3
. . . . .2πk
Busquemos las raíces cúbicas de 3:
. .___
∛3. . . = s ⇒
. . 2πk. . .β
3. . . = s³
.2πk. . 3β
CÁLCULO DEL MÓDULO s
.... . . . . . . . . .__
3 = s³ ⇒ s = ∛3
CÁLCULO DE LOS ARGUMENTOS
Hay infinitos, pero esencialmente distintos sólo hay tres, para sendas tres raíces cúbicas que tiene el número natural 3.
2π
---- • k = β
3
k = 0 ⇒ β = 0
k = 1 ⇒
. . . 2π
β = ----
. . . 3
k = 2 ⇒
. . . 4π
β = ----
. . . 3
LAS RAÍCES CÚBICAS DE 3,
EXPRESADAS EN FORMA POLAR:
(∛3)₀
(∛3)
. . . 2π
. . . -----
. . . . 3
(∛3)
. . . 4π
. . . -----
. . . . 3
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