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completa la siguiente tabla, demostrando las operaciones que realizaste para determinar el
resultado: (procedimiento)
Respuestas
Para completar la tabla se apela a los conocimientos sobre el Teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y ángulos notables.
Explicación paso a paso:
Iniciamos por recordar el Teorema de Pitágoras de las relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:
Si los lados los llamamos:
a = Hipotenusa
b = Cateto Opuesto al ángulo α
c = Cateto Adyacente al ángulo α
Entonces, el Teorema postula: a² = b² + c²
También debemos recordar que las razones trigonométricas en ese triángulo rectángulo equivalen a:
Sen(α) = b/a Cos(α) = c/a Tan(α) = b/c
Entonces podemos completar la tabla:
Primera fila
Se sabe que Cos(α) = √2/2 = b/a
De aquí se tiene que b = √2 a = 2
Despejando c del Teorema, podemos hallar los valores de las otras razones:
c = √(a² - b²) = √[(2)² - (√2)²] = √2
Entonces
Sen(α) = b/a = √2/2 Tan(α) = b/c = √2/√2 = 1
Finalmente, por el conocimiento que se tiene de los ángulos notables, el ángulo α equivale a 45°.
Segunda fila
Se sabe que Tan(α) = √3 = b/c
De aquí se tiene que b = √3 c = 1
Despejando a del Teorema, podemos hallar los valores de las otras razones:
a = √(b² + c²) = √[(√3)² + (1)²] = 2
Entonces
Sen(α) = b/a = √3/2 Cos(α) = c/a = 1/2
Finalmente, por el conocimiento que se tiene de los ángulos notables, el ángulo α equivale a 60°.
Tercera fila
En este caso se conoce el ángulo α = 30°. Por el conocimiento que se tiene de los ángulos notables y de las razones Seno y Coseno, que invierten sus valores en los ángulos 30° y 60°. Podemos resolver esta situación.
Antes, ¿por qué Seno y Coseno invierten sus valores en los ángulos 30° y 60°?
Los ángulos en un triángulo suman 180°. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, 90°, por lo tanto los otros dos ángulos deben sumar 90°. Si uno de estos ángulos es 30°, el otro debe valer 60° para que sumen 90°.
Estos ángulos comparten la hipotenusa y se forman con otro de los lados del triángulo. Esto implica que el lado que representa el Cateto Adyacente para el ángulo 30° es el Cateto Opuesto al ángulo 60°, y viceversa. Por ello, el valor de Seno de 30° es el mismo del Coseno de 60°; pues corresponden a la misma razón numérica.
Entonces podemos afirmar que
Sen(30°) = b/a = 1/2 Cos(30°) = c/a = √3/2
Para hallar la Tangente basta con tomar los valores de b y c de las expresiones anteriores
Tan(30°) = b/c = 1/√3 = √3/3 (por racionalización)