Question

Me puede ayudar con el 1er ejercicio de ecuaciones diferenciales? es el de yy'=cos x sujeta a la condición y(π/2)=3

Answer 1

Tenemos el siguiente ejercicio:

$(y)(y')=cos(x)$

Pero si recuerdas que:

$y'= \frac{dy}{dx}$

La notación del apostrofe, la usó Newton, y la otra la usó Leibniz...entonces:

$(y)( \frac{dy}{dx} )=cos(x)$

Y éstos ya es una ecuación diferencial de variables separables...

$(y)(dy)=cos(x)(dx)$

Integrando a cada lado:

$\int\limits {y} \, dy= \int\limits {cos(x)} \, dx$

Éstas integrales ya las sabemos verdad?...

$\frac{ y^{2} }{2} =sin(x)+C$

pero ya nos dan una condición inicial...usémosla...

Ya condición nos dice:

$y( \frac{ \pi }{2} )=3$ que es lo mismo que:

$f( \frac{ \pi }{2} )=3$

donde sabemos que:

$x= \frac{ \pi }{2} \\ y=3 \\ \\ Reemplacemos: \\ \\ \frac{ (3)^{2} }{2} =sin( \frac{ \pi }{2} )+C \\ \\ Pero:sin( \frac{ \pi }{2} )=1 \\ \\ \frac{9}{2} =1+C \\ C= \frac{7}{2} \\ \\ Finalmente: \\ \\ \frac{ y^{2} }{2} =sin( x)+ \frac{7}{2}$

Podemos trabajarle un poco para que se vea mejor...

$y^{2} =2(sin( x)+ \frac{7}{2}) \\ y^{2} =2sin(x)+7 \\ \sqrt{ y^{2} } = \sqrt{2sin(x)+7} \\ |y|= \sqrt{2sin(x)+7} \\ \\ Soluciones: \\ y=- \sqrt{2sin(x)+7} \\ y=+ \sqrt{2sin(x)+7}$

tenemos dos soluciones porque tenemos un valor absoluto una parte negativa y otra positiva
Y creo que hasta ahí está bien...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas