Question

Desde una ventana se lanza un proyectil con una velocidad de 100 m/s formando 37º con la horizontal. ¿Qué rapidez tendrá el proyectil seis segundos después?(g = 10m/s²)

Answer 1

La velocidad del proyectil para un tiempo de 6 segundos es de 80 metros por segundo. Donde el proyectil alcanzó su altura máxima para ese instante de tiempo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = 100 \ m /s }$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}$

$\boxed {\bold{ V_{0x} = 100\ m/ s \ . \ cos \ 37^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 37 grados es } \bold {\frac{ 4 } { 5 } }$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 100\ m/ s \ . \ \frac{4}{5} }}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = \frac{400}{5} \ m/s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} =80 \ m/ s }}$  

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}$

$\boxed {\bold{ V_{0y} = 100\ m/ s \ . \ sen \ 37^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } { 5 } }$

$\boxed {\bold { V_{0y} = 100\ m/ s \ . \ \frac{3}{5} }}$

$\boxed {\bold { V_{0y} = \frac{300}{5} \ m/s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} =60 \ m/ s }}$

Cálculo de la velocidad del proyectil a los 6 segundos

Calculamos las velocidades horizontal y vertical

La velocidad en el eje x se mantiene constante y no varía (MRU)

$\large\boxed {\bold { V_{x} =80 \ m/s }}$

Determinaremos la velocidad en el eje y (velocidad vertical) para los 6 segundos

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y}- g \ . \ t }}}$

Tomamos un valor de gravedad de 10 m/s² por imposición de enunciado

$\boxed {\bold { V_{y} =(60 \ m/s)- (10 \ m/s^{\not 2} \ . \ 6 \not s) }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =60\ m/s- 60 \ m/s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} = 0 \ m/s }}$

Luego si la velocidad vertical es cero $\bold { V_{y } = 0 }$ el proyectil ha alcanzado la altura máxima para ese instante de tiempo, es decir para 6 segundos

Mediante el el teorema de Pitágoras hallaremos la velocidad resultante para ese instante de tiempo con las velocidades en x y en y

$\large\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ ( V_{X} )^{2} + ( V_{Y} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ ( 80 \ m/ s )^{2} + ( 0 \ m/ s )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ 6400 \ m^{2}/s^{2} } }}$

$\large\boxed{\bold { V_{R} = 80 \ m/s } }$

La velocidad del proyectil para un tiempo de 6 segundos es de 80 metros por segundo. Donde el proyectil alcanzó su altura máxima para ese instante de tiempo