Question

tema: descomposición de polinomios 317 en base n es igual a 381​

Answer 1

DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS

Bases Numéricas

Una base numérica es un sistema de numeración en el que se emplea la cantidad de números de tal base.

Por ejemplo:

• El sistema binario (base 2) usa dos cifras: 0 y 1.
• El sistema de base 3 emplea tres cifras: 0, 1 y 2.
• El sistema de base 10 (base decimal, el que usamos) usa 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
• Las cifras deben ser menores que la base.

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De acuerdo al ejercicio, tenemos:

$\large{\boxed{\mathsf{317_{(n)} = 381}}}$

Se tiene un número en base "n", que es igual a 381 en base diez.

Para convertir de base "n" a base 10 se realiza el proceso siguiente:

Conversión de base "n" a base 10

De derecha a izquierda:

• Multiplicamos la primera cifra por 1
• Luego, la segunda cifra multiplicamos por la base elevada a 1
• La tercera cifra por la base elevada a 2
• La cuarta cifra por la base elevada a 3,
• Y así sucesivamente. Al final, estos resultados se suman.

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En este ejercicio (de derecha a izquierda):

• La primera cifra por uno: 7(1)
• La segunda cifra por base elevada a 1. Como la base es "n":  1(n)
• La tercera cifra por la base elevada a 2: 3(n²)
• Estas cantidades se suman.

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Escribimos de forma directa:

$\mathsf{3n^{2} + 1n + 7(1) = 381}$

$\mathsf{3n^{2} + 1n + 7 = 381}$

$\small{\textsf{Resolvemos:}}$

$\mathsf{3n^{2} + 1n = 381 - 7}$

$\mathsf{3n^{2} + n = 374}$

$\small{\textsf{Ordenamos e igualamos a 0:}}$

$\mathsf{3n^{2} + n-374= 0}$

Esta es una ecuación cuadrática. Para resolverla y hallar el valor de "n" debemos:

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Aplicar la fórmula para ecuaciones de segundo grado, la cual es:

$\mathsf{x_{1,\:2} = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

En este ejercicio:

$\underbrace{\mathsf{3}} \mathsf{n^{2}} + \underbrace{\mathsf{1}} \mathsf{n} \underbrace{\mathsf{- 374}} = \mathsf{0}}\\\\\mathsf{\: \: \: a\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: b\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:c}$

• a = 3
• b = 1
• c = -374

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Reemplazamos en la fórmula:

$\mathsf{n_{1,\:2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4(3)(-374)}}{2 (3)}}$

$\mathsf{n_{1,\:2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{1 - 4(3)(-374)}}{6}}$

$\mathsf{n_{1,\:2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4488}}{6}}$

$\mathsf{n_{1,\:2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{4489}}{6}}$

$\mathsf{n_{1,\:2} = \dfrac{-1\pm 67}{6}}$

Aquí, separamos. Escribimos una ecuación con signo (+) y otra con signo (-):

$\mathsf{n_{1} = \dfrac{-1 + 67}{6}}$ ‎      ‏‏‎‎      ‏‏‎ $\mathsf{n_{2} = \dfrac{-1 - 67}{6}}$

$\mathsf{n_{1} = \dfrac{66}{6}}$ ‎      ‏‏‎‎   ‏‏‎‎   ‏‏‎‎   ‏‏‎‎      ‏‏‎ $\mathsf{n_{2} = \dfrac{-68}{6}}$

$\boxed{\mathsf{n_{1} = 11}}$ ‎      ‏‏‎‎  ‏‏‎‎   ‏‏‎‎      ‏‏‎ $\boxed{\mathsf{n_{2} = -11,333...}}$

Como estamos hallando la base, debemos considerar el valor positivo. Entonces, n = 11.

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Respuesta. La base es 11.

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