Tengo este problema de geometría, ABCD es un cuadrado, y H, J, K, I, son los puntos medios de sus lado como en la figura y PQRS es un cuadrado. Determinar el coeficiente de de:
(el área de PQRS)/(el área de ABCD)
Gracias por la ayuda. realmente no se como resolverlo
Respuestas
Lo que yo haría sería, calcular el área del cuadrado externo, si tomo cada lado como x, el Área exterior sería x^2
Luego, tomaría un triángulo formado (Figura 2) y le hallaría el área
en este caso sería A=B*h/2--->A=(x/2)(x)/2=(x^2)/4
Luego, sumaería los 4 triángulos internos.
es decir
4A=4((x^2)/4)=(x^2)
Si notas, el resultado es igual al del área del cuadrado ABCD.
Esto es porque sumas 2 veces el área pintada en azul (figura 3)
Es decir, debes hallar el área de estos, y restarselo a cada triángulo grande.
para hallar uno, pues tienes un lado, y el valor de α
α=arctan(1/2)
α=26,565051º
ahora hallas el valor de un lado, en este caso, hallaré v,
para esto, pues me valgo de la trigonometría
Cosα=(v/(x/2))
(v lado adyacente, x/2 hipotenusa)
Cos(26,565051º)=v/(x/2)
0,894427*(x/2)=v
v=0,447213x
Con esto, subdivides este para hallar la altura (figura 4), lo calculo con el triángulo amarillo
tanα=(h/(x/2))
tan(26,565051º)=h/(x/2)
1/2=h/(x/2)
1/2*(x/2)=h
h=x/4
Ahora, regresas a calcular el area del triángulo azul(fig 3)
ya tienes la base=x/2, y la altura=x/4
A=B*h/2
A=((x/2)*(x/4))/2
A=(x^2)/16
Ahora sumas los 4 triángulos azules
4A=4((x^2)/16)
4A=(x^2)/4
Ahora le restas estos 4 pequeños((x^2)/4), a la suma de los 4 triángulos grandes(x^2).
A=(x^2)-((x^2)/4)
A=3(x^2)/4
Aquí ya tienes el área del exterior del cuadrado, como nececitas el área interna, entonces,
le restas al áreea del cuadrado grande, el área que nos acabó de dar.
A=(x^2)-(3(x^2)/4)
A=(x^2)/4
El cofactor que buscas, lo llamaré k
el área de PQRS=A2
el área de ABCD=1
es decir A2 =(x^2)/4
y A1= (x^2)
k=A2/A1
k=((x^2)/4)/(x^2)
k=1/4
Esto significa que el área del cuadrado inscrito, tiene 1/4 de área del cuadrado grande.
