Question

Movimiento parabólico
1. Un futbolista comunica a una pelota una velocidad horizontal de 7,5m/s y una
velocidad inicial vertical de 10m/s.
cuál es la magnitud de la velocidad inicial?
a.
12.5m/s
b.
17,5m/s
c.
2,5m/s
d.
0,75 m/s​

Answer 1

La magnitud de la velocidad inicial que el futbolista le comunica a la pelota es de 12.5 metros por segundo (m/s)

Sobre el movimiento parabólico

El tiro parabólico consiste en arrojar un objeto o proyectil con cierto ángulo y dejar que se mueva bajo la acción de la gravedad, luego el objeto seguirá una trayectoria en forma parabólica.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial.

Digamos que el movimiento horizontal transcurre a lo largo del eje x y el vertical a lo largo del eje y. Cada uno de estos movimientos es independiente del otro.

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) o uniformemente acelerado (MRUA) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Donde en el eje x el cuerpo se desplazará a velocidad constante $\bf { V_{0x}$(MRU) y en el eje y con una aceleración constante generada por la acción de la gravedad (MRUA).  

Determinar la posición del proyectil es esencial, por lo tanto hay que tener un sistema de referencia.

Donde la velocidad forma un ángulo con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales

Solución

Conociendo los valores de las velocidades horizontal y vertical que el futbolista le comunica a la pelota, la velocidad inicial del lanzamiento se determina como la velocidad resultante de sus dos componentes en x y en y

Siendo

La velocidad horizontal

$\boxed {\bold {V_{x} =7.5 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad vertical

$\boxed {\bold {V_{y} =10 \ \frac{m}{s} }}$

Por Pitágoras hallamos la velocidad resultante la cual será la velocidad inicial del lanzamiento con las velocidades iniciales conocidas en x y en y

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ ( V_{X} )^{2} + ( V_{Y} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ \left ( 7.5 \ \frac{m}{s}\right )^{2} + \left ( 10 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ 56.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } + 100 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ 156.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{\bold { | V_{R \ }| = 12.5 \ \frac{m }{s} }}$

Por lo tanto

$\large\boxed{\bold { V_{0 } = 12.5 \ \frac{m }{s} }}$

Luego la magnitud de la velocidad inicial que el futbolista le comunica a la pelota es de 12.5 metros por segundo (m/s)

Como un adicional al ejercicio podemos hallar el ángulo con que el futbolista lanzó la pelota

Sabiendo

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \alpha }}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \alpha } }$

Para el eje x

$\boxed {\bold { V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \alpha}}$

Conocemos la velocidad inicial horizontal por enunciado la cual es de 7.5 m/s y hemos hallado la velocidad inicial que corresponde a 12.5 m/s

$\large \textsf{Reemplazamos y despejamos el coseno del \'angulo }$

$\boxed {\bold { 7.5 \ \frac{m}{s} =12.5 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ \alpha}}$

$\boxed {\bold {cos \ \alpha = \frac{ 7.5 \ \not\frac{m}{s} }{12.5\ \not \frac{m}{s} } } }$

$\boxed {\bold {cos \ \alpha =0,6 } }$

Aplicamos la inversa del coseno

$\boxed {\bold { \alpha = arccos(0,6) } }$

$\boxed {\bold { \alpha = 53.13^o } }$

Para el eje y

$\boxed {\bold { V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \alpha}}$

Conocemos la velocidad inicial vertical por enunciado la cual es de 10 m/s y hemos hallado la velocidad inicial que corresponde a 12.5 m/s

$\large \textsf{Reemplazamos y despejamos el seno del \'angulo }$

$\boxed {\bold { 10 \ \frac{m}{s} =12.5 \ \frac{m}{s} \ . \ sen \ \alpha}}$

$\boxed {\bold {sen \ \alpha = \frac{ 10 \ \not\frac{m}{s} }{12.5\ \not \frac{m}{s} } } }$

$\boxed {\bold {sen \ \alpha =0,8 } }$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed {\bold { \alpha = arcsen(0,8) } }$

$\boxed {\bold { \alpha = 53.13^o } }$

Concluyendo que el futbolista pateó la pelota con un ángulo de aproximadamente 53.13°