sea C la curva descrita por r(t) = a cos(t) i + a sin(t) i + btk
a) verifique que el angulo ∅ que la recta tangente en cualquier punto de la curva forma con el eje z es constante.
b) demuestre que el angulo α que forma el vector binomial con el eje z es constante.
c) calcule la curvatura k.
sustituir a y b en la funcion por el primer 2 y quinto 7 de su cedula
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Respuestas
Explicación paso a paso:
En esta secci´on vamos a recordar algunas nociones b´asicas del espacio eucl´ıdeo tridimen-
sional, y algunas propiedades sencillas de las “ funciones vectoriales de variable real ” que uti-
lizaremos con frecuencia en este cap´ıtulo y en todos los cap´ıtulos siguientes.
A lo mejor ser´ıa m´as apropiado que esta secci´on estuviera en un ap´endice al final del
cap´ıtulo, pero la hemos puesto al principio para intentar obligar al alumno a repasar todos los
conceptos b´asicos que necesariamente debe conocer y debe saber utilizar.
1.1 Sean σ : I → R
3
y φ : I → R
3 dos funciones vectoriales definidas sobre un mismo intervalo
abierto; escribamos σ = (σ1, σ2, σ3) y φ = (φ1, φ2, φ3). Haciendo el producto escalar usual de
R
3 de dichas funciones vectoriales obtenemos la funci´on real σ · φ : I → R,
σ · φ = σ1 · φ1 + σ2 · φ2 + σ3 · φ3 .
Es claro que si σ y φ son aplicaciones de clase C
r
(r = 0, 1, . . .), entonces σ · φ es una funci´on
de clase C
r
. Adem´as, si σ y φ son diferenciables, entonces σ · φ es una funci´on diferenciable y
se cumple la regla usual para la derivada de un producto
(σ · φ)
′ = σ
′
· φ + σ · φ
′
.
(compru´ebese como sencillo ejercicio). Tambi´en es claro que si f : I → R es una funci´on
diferenciable, entonces fσ = (fσ1, fσ2, fσ3) es una aplicaci´on diferenciable y se cumple
(fσ)
′ = f
′σ + fσ′
.
1.2 Recordemos: Se define el “ m´odulo ” de un vector e ∈ R
3
como el n´umero real |e| :=
√
e · e ≥ 0, y se cumple |e| = 0 si y s´olo si e = 0; el vector e se dice que es “ unitario ” si su
m´odulo es igual a 1, es decir, si e · e = 1. Dos vectores e, v ∈ R
3
se llaman “ ortogonales ” si
e · v = 0. Una base {e1, e2, e3} de R
3
se dice que es “ ortogonal ” si sus vectores son ortogonales
dos a dos, y se dice que es “ ortonormal ” si es ortogonal y est´a compuesta por vectores unitarios.
Para la base usual del espacio eucl´ıdeo tridimensional R
3
suele usarse la siguiente notaci´on
⃗i := (1, 0, 0), ⃗j := (0, 1, 0),
⃗k := (0, 0, 1).
Es claro que {⃗i ,⃗j ,
⃗k } es una base ortonormal.
Dada una base {e1, e2, e3} en R
3
, si consideramos sus componentes (que coinciden con sus
coordenadas en la base usual),
e1 = a1
⃗i + a2
⃗j + a3
⃗k = (a1, a2, a3), e2 = (b1, b2, b3), e3 = (c1, c2, c3),
entonces se dice que la base {e1, e2, e3} es “ positiva ” (´o que est´a “ positivamente orientada ”)
cuando
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
> 0 ,
y se dice que la base {e1, e2, e3} es “ negativa ” (´o que est´a “ negativamente orientada ”) cuando
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
< 0 .
Es trivial comprobar que la base usual {⃗i ,⃗j ,
⃗k } es positiva.
1.3 Hay varias formas (todas equivalentes) de definir el producto vectorial de vectores de R
3
.
Para abreviar, aqu´ı daremos su expresi´on anal´ıtica respecto de las coordenadas cartesianas.
Dados vectores e = (a1, a2, a3) y v = (b1, b2, b3) en R
3
, se define el “ producto vectorial ” de
e por v (en ese orden) como el vector e × v dado por la igualdad
e × v =
a2 a3
b2 b3
⃗i +
a3 a1
b3 b1
⃗j +
a1 a2
b1 b2
⃗k =
⃗i ⃗j
⃗k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
. (1.1)
Las propiedades del producto vectorial se siguen de las propiedades de los determinantes:
es bilineal (lineal en cada uno de sus dos argumentos) y anticonmutativo (v × e = −(e × v)), y
adem´as e × v ̸= 0 si y s´olo si los vectores e y v son linealmente independientes.
1.4 Sean ahora σ : I → R
3
y φ : I → R
3 dos funciones vectoriales definidas sobre un mismo
intervalo abierto; entonces tenemos la funci´on vectorial σ × φ : I → R
3
. Es claro que si σ y
φ son aplicaciones de clase C
r
(r = 0, 1, . . .), entonces σ × φ es una aplicaci´on de clase C
r
.
Adem´as, cuando σ y φ son diferenciables, σ × φ tambi´en lo es y se cumple la regla para la
derivada de un producto
(σ × φ)
′ = σ
′ × φ + σ × φ
′
.