Question

Si: sen a = 4/5, donde "a" es un ángulo de un triangulo rectángulo, calcular : M = 1 + ctg ² a​

Answer 1

Respuesta:

M = 25/16.

Explicación paso a paso:

Tema: TEOREMA DE PITÁGORAS.

Recuerda lo siguiente.

$\section*{TEOREMA DE PIT\'AGORAS}}$

El Teorema de Pitágoras es usado únicamente en un triángulo rectángulo(Triángulo que tiene un ángulo que mide 90°). Además, es usado para poder hallar un lado desconocido dentro de un triángulo rectángulo lo cual nos dice:

La hipotenusa es igual a la suma de un cateto al cuadrado más la suma del otro cateto al cuadrado, esto se puede simbolizar de la siguiente manera:

$\boxed{\boxed{{\text{H}^{2} =\text{a}^{2}+\text{b}^{2}}}}$

$\underline{\textsc{Donde}}$

1. Hipotenusa(H): Es la parte más larga del triángulo rectángulo, por ende, tiene mayor longitud y siempre se encuentra al frente del ángulo de 90°.
2. Catetos(a;b): Son los otros dos lados del triángulo rectángulo, tienen menor longitud y se pueden encontrar arriba o abajo de cualquier otro ángulo que tenga el triángulo(Además del ángulo 90°). Si hay otros ángulos los catetos se pueden clasificar en dos:

• Cateto opuesto(co): Este se encuentra al frente de cualquier otro ángulo, menos del 90°.
• Cateto adyacente(ca): Este se encuentra debajo de cualquier otro ángulo, menos del 90°.

$\underline{\textsc{Razones trigonom\'etricas}}$

$\mathbb{RAZONES\:TRIGONOM\'ETRICAS}$

Las R.T. solo existen 6 en total, en este caso solo veremos a la R.T. seno.

$\large\text{Sen}\alpha =\dfrac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}} \longrightarrow \dfrac{\text{co}}{\text{H}}$

$\large\text{Ctg}\alpha =\dfrac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}} \longrightarrow\dfrac{\text{ca}}{\text{co}}$

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$\textsc{Resolviendo el ejercicio}$

→ Si: Sena = 4/5 donde "a" es un ángulo de un triángulo rectángulo. Calcular: M = 1 + Ctg²a.

→ Nos dan de dato:

$\text{Sena}=\dfrac{4}{5} \longrightarrow\dfrac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

• Como vemos, el único lado que nos falta hallar es el cateto adyacente. Para poder hallarlo vamos a emplear el Teorema de Pitágoras.

• El Teorema de Pitágoras nos dice que H² = a² + b²

$5^{2} =4^{2} +x^{2}$

• Dibujamos nuestro triángulo rectángulo(Ver imagen) y resolvemos.

$3=x$

• Nuestro cateto adyacente es 3(Ver imagen para poder entender mejor).

Como sabemos, hay un triángulo rectángulo notable que tiene los mismos lados de este triángulo ese triángulo notable es de 53° y 37°. Como el ángulo "a" se le opone el lado 4 esto quiere decir que 53° es igual al ángulo "a", porque en el triángulo notable a 53° también se le opone 4.

→ Nos piden hallar M = 1 + Ctg²a.

$\large\text{Ctga}=\dfrac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}$

→ Ubicamos nuestros datos que ya tenemos.

• Hipotenusa = 5
• Cateto opuesto = 4
• Cateto adyacente = 3

Por lo que Ctga = 3/4

$\text{M}=1+(\dfrac{3}{4} )^{2}$

• Por propiedad (a/b)ⁿ = (aⁿ/bⁿ)

$\text{M}=1+\dfrac{9}{16}$

• Utilizamos Sonrisa.

$\text{M}=\dfrac{1\times16+9\times1}{16\times1}$

• Resolvemos.

$\text{M}=\dfrac{16+9}{16} =\dfrac{25}{16}$

Si tiene alguna dificultad puede escribirla por los comentarios. =)