Question

1) probar que x= -1 es un cero de p(x)=2x²+5x+3
2) encuentre el rango de las siguiente funcion cuadractica y el punto de maximo o de minimo según corresponda f(x)=2x² -16x+37
Ayudemen por favor

Answer 1

Para probar que x=-1 es forma parte de las raíces de ese polinomio es decir, corta al eje "x"...en ese punto, lo que hacemos es reemplazar ese valor en la función que nos da...

$f(-1)=2(-1 )^{2}+5(-1)+3 \\ f(-1)=2(1 )-5+3=0$
nos tenía que dar cero por supuesto...caso contrario el punto x=-1 no sería una raíz de ese polinomio...

entonces una de las raíces de ese polinomio ah sido x=-1

para el siguiente ejercicio el tema yo lo podría complicar y hacerlo divertido..:3...pero a ti no te va a gustar pero de igual forma vas a tener que un día ver ésos temas...aquí solo vamos a usar criterios o deducciones que se han hecho a partir de los análisis...

el primer criterio es el siguiente:

tenemos una ecuación cuadrática de la forma:

$a x^{2} +bc+c=0$

el criterio de monotonía que nos ahorra estudiar la monotonía en los intervalos del dominio, es que 

$si:a\ \textgreater \ 0:positivo \\ entonces: olla \\ \\ si:a\ \textless \ 0:negativo \\ entonces:campana$

confío en que sepas diferencia una olla de una campana...la olla como que se ABRE HACIA ARRIBA (CONVEXA), y la campana en cambio como que se ABRE HACIA ABAJO (CÓNCAVA), entonces solo con ver el signo que acompaña al término $x^{2}$ podemos determinar si tiene un mínimo o máximo...

estás de acuerdo que una olla tiene va a tener un mínimo??...porque está en la base se podría decir...
estás de acuerdo que una campana va a tener un máximo??..si verdad...es decir tiene un tope...arriba....

entonces sabiendo ésto esa función que es...olla o campana??..jajaja...
en ese caso a=2 pero el 2 es positivo entonces es una olla...se abre hacia arriba entonces tiene un mínimo...

ahora a éste mínimo y máximo lo conocemos como "VÉRTICE"...de la función...si tenemos una función cuadrática de la forma:

$a x^{2} +bx+c=0$

el vértice del eje "x"...está en

$X_{VERTICE} =- \frac{b}{2a}$

si quieres encontrar el vértice del eje "y"..entonces reemplazas éste valor en la función...

tenemos la siguiente ecuación

$f(x)=2 x^{2} -16x+37 \\ Donde: \\ a=2 \\ b=-16 \\ \\ X_{VERTICE}=- \frac{b}{2a} =- \frac{(-16)}{2(2)} =4 \\ \\ reemplazamos: \\ f(8)=2 (4)^{2} -16(4)+37=5 \\ \\ VERTICE:(4,5)$

ahora para encontrar el recorrido también podríamos hacer el análisis y procedimiento que se debería hacer...pero también podemos hacer uso de otro criterio...

ya sabemos que ésta función también es una "olla"..es decir se abre hacia arriba...verdad??...también ya sabemos el vértice de la parábola...en especial el vértice del eje "y" vale 5...entonces estás de acuerdo que si la parábola se abre para arriba y las patitas de la parábola como que se siguen abriendo hasta arriba arriba y más arriba...es decir hasta más infinito...??

entonces el recorrido sería desde el vértice hasta más infinito

$Recorrido=Rango \\ (5,+ \infty)$

y ese sería el recorrido de la función.....solo necesitabamos saber si era concava o convexa, y donde es el vértice...para armar el recorrido..

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas