En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido en miles de pesos, viene dado por la expresión B(X) = 0,5 X2 – 4 X + 6, siendo x la inversión en publicidad, en miles de pesos, con x en el intervalo [ 0 ; 10[
A) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene perdidas?
B) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
C) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?
Respuestas
Explicación paso a paso:
Se obtienen perdidas si x esta entre 2 y 6 (sin incluir) el mayor beneficio se obtiene cuando la inversión es igual a 4 ( en miles de dolares), si no se invierte en publicidad el beneficio es de 6 mil dolares y esto también ocurre si se invierte 8 mil dolares en publicidad
El beneficio de la empresa es:
B(x) = 0.5*x² - 4x + 6
"x" inversión
¿ Para que valores de la inversión la empresa tiene perdidas?.
Esto ocurre cuando la inversión es negativa:
0.5*x² - 4x + 6 < 0
x² - 8x + 12 < 0
(x - 2)*(x-6) < 0
Veamos el signo
- ∞ 2 6 ∞
( x - 2) - + +
(x - 6) - - +
(x-2)*(x-6) + - +
Para x ∈ (2,6): es decir inversión entre 2 y 6 (sin incluir) se obtenen pertidas
¿ Cuando tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?.
Derivamos la función e igualamos a cero: asi encontramos el m[aximo de la función
B'(x) = x - 4 = 0
x = 4
La segunda derivada
B''(x) = -4 < 0
Por criterio de la segunda deriva en un máximo, entonces para una inversión de x = 4 se obtiene el mayor beneficio posible
Si no se invierte en publicidad: entonces x = 0 y el beneficio es:
B(0) = 0.5*0² - 4*0 + 6 = 6
Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio: igualamos el beneficio a 6 y decimos que x es distinto de 0
B(x) = 6 = 0.5x² - 4x + 6
0.5x² - 4x = 0
x*(0.5x - 4) = 0
Como x ≠ 0
0.5*x - 4 = 0
0.5*x = 4
x = 4/0.5 = 8