Question

Se cuenta con 230 km de alambre para el contorno de un campo rectangular que debe tener por lo menos 1500〖km〗^2 ¿Dentro de qué límites deben estar las dimensiones del campo rectangular para cumplir esas condiciones?

Answer 1

Para que el terreno tenga 1500 metros cuadrados o más, sus dimensiones tienen que estar entre 15 y 100km y además tiene que ser $a+b=115km$.

Explicación paso a paso:

Si tenemos 230km de alambre, el perímetro del campo rectangular debe ser como máximo ese.

$P=2a+2b\leq 230\\\\P=2(a+b)\leq 230\\\\a+b\leq 115$

Y a su vez el área del campo tiene que ser de al menos 1500 kilómetros cuadrados:

$A=a.b\geq 1500km^2$

Podemos suponer que el perímetro es igual a 230km, entonces podemos hacer en la segunda inecuación:

$a+b=115=>b=115-a\\\\a.b\geq 1500\\\\a(115-a)\geq 1500\\\\115a-a^2\geq 1500\\\\115a-a^2-1500\geq 0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$a=\frac{-115\ñ\sqrt{(-115)^2-4.(-1).(-1500)}}{2.(-1)}=\frac{115\ñ\sqrt{(-115)^2-4.(-1).(-1500)}}{2}\\\\a=\frac{115\ñ\sqrt{7225}}{2}=\frac{115\ñ85}{2}\\\\a=100km\\\\a=15km$

Eso nos dice que una de las dimensiones tiene que ser $15km\leq a\leq 100km$, si hacemos lo mismo con la otra dimensión vamos a obtener el mismo resultado.