Question

determinar las razones trigonométricas de un ángulo a en normal, si el punto p (x,y) está sobre el lado terminal del mismo

a) p(2,3) b) M(-3,-4) c) k(1,-3)
d) N(6,8)​

ayúdenme por favor!! :(​

Answer 1

Respuesta:

Ejemplo A

Encuentra el ángulo de rotación (en grados) y el radio (distancia desde el origen) del punto (−3,6) .

Solución: Primero, haz un dibujo, ubica el punto y traza una perpendicular al eje x para hacer un triángulo rectángulo.

[Figure 1]

Del dibujo, podemos ver que tan−1(−63)=63.4∘ es el ángulo de referencia entonces el ángulo de rotación es 180∘−63.4∘=116.6∘ .

El radio o distancia desde el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

r2r2r=(−3)2+(6)2=45=45−−√=35–√

Usando esta información, podemos escribir el punto (−3,6) en la forma coordinada polar, como (35–√,116.6∘)

Ejemplo B

Escribe las coordinadas cartesianas, (3,−4) , en la forma polar. Escribe el ángulo en grados.

Solución: De nuevo, comienza con un dibujo.

Podemos encontrar el ángulo de referencia nuevamente usando la tangente: tan−1(−43)=−53.1∘ . Entonces el ángulo de rotación es 360∘−53.1∘=306.9∘

Ahora encuentra el radio:

r2r2r=32+(−4)2=25=25−−√=5

Las coordinadas polares son, así (5,306.9∘)

[Figure 2]

Nota: Te puedes haber dado cuenta que hay un patrón que nos entrega un atajo para encontrar las coordinadas polares para coordinadas cartesianas cualquiera, (x,y) :

El ángulo de referencia se puede encontrar usando, θ=tan−1(yx) y entonces el ángulo de rotación se puede encontrar colocando el ángulo de referencia en el cuadrante apropiado y dando un ángulo de rotación positivo desde el eje positivo x (0^\circ \le \theta < 360^\circ

[Figure 3]

< 360^\circ" class="x-ck12-math" /> o 0 \le \theta < 2 \pi)

[Figure 4]

< 2 \pi)" class="x-ck12-math" /> . El radio siempre es r=x2+y2−−−−−−√ y se debe dar en la forma radical reducida.

Ejemplo C

Dado el punto (−9,−5) en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en radianes) del punto y seis razones trigonométricas para el ángulo.

Solución: Asegúrate que la calculadora esté en modo radian. Usando el atajo, podemos encontrar las coordinadas polares:

tan−1(59)=0.51 . Ya que x y y son negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante el que hace el ángulo de rotación π+0.51=3.65 . El radio será r=92+52−−−−−−√=106−−−√ . Las coordinadas polares son (106−−−√,3.65) . Como para las seis razones trigonométricas, un diagrama nos ayudará:

[Figure 5]

Ya sabemos que tan3.65=59 , entonces cot3.65=95 .

Ahora podemos usar la hipotenusa, 106−−−√ para encontrar las otras razones:

sin3.65=−5106−−−√=−5106−−−√106 y csc3.65=−106−−−√5 .

cos3.65=−9106−−−√=−9106−−−√106 y sec3.65=−106−−−√9

Revisión del Problema Conceptual Primero, haz un dibujo, coloca el punto y traza una perpendicular al eje x para hacer un triángulo rectángulo.

Del dibujo, podemos ver que tan−1(−31)=71.6∘ es el ángulo de referencia. El punto (1,−3) está en el segundo cuadrante, entonces el ángulo de rotación es 180∘−71.6∘=108.4∘ .

El radio o distancia desde el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

r2r2r=(1)2+(−3)2=10=10−−√

Por lo tanto, mis coordinadas polares son (10−−√,108.4∘) .

Práctica Guiada

1. Encuentra el ángulo de rotación (en grados) y el radio (distancia desde el origen) del punto (7,24) .

2. Escribe las coordinadas cartesianas, (−8,−15) , en la forma polar (en radianes) y encuentra seis razones trigonométricas para el ángulo.

3. Dado el punto (12,−4) en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en grados) del punto y las seis razones trigonométricas para el ángulo.

Respuestas

1. r=72+242−−−−−−−√=25 , θ=tan−1(247)≈73.7∘

2. r=(−8)2+(−15)2−−−−−−−−−−−−√=17 y θ=tan−1(−15−8)≈1.08 entonces las coordinadas polares son (17,1.08) .

Las 6 razones trigonométricas son: sin1.08cos1.08tan1.08=−1517csc1.08=−1715=−817sec1.08=−815=158  cot1.08=−815

3. r=122+(−4)2−−−−−−−−−−√=410−−√ y θ=tan−1(−412)≈341.6∘ entonces las coordinadas polares son (410−−√,341.6∘) .

Las 6 razones trigonométricas son: sin341.6∘cos341.6∘tan341.6∘=−10−−√10csc341.6∘=−10−−√=310−−√10csc341.6∘=10−−√3=−13   tan341.6∘=−3

Vocabulario

Coordinadas polares

Cuando un ángulo en el plano cartesiano se representa por su ángulo de rotación y la distancia desde el origen, o radio.

Práctica

Las medidas de los ángulos deberían aproximarse al grado más cercano, a la centena de un radián o escribir la respuesta exacta si es posible. Todos los valores de r deberían ser escritos en la forma radical reducida.

Escribe los siguientes pares de coordinadas cartesianas en la forma polar. Usa grados para los problemas 1 y 2 y radianes para los problemas 3-5.

(16,−30)

(5,5)

(−5,−12)

(−9,40)

(−4,8)

Dado los puntos en un lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en grados) del punto y seis razones trigonométricas para los ángulos.

(−6,8)

(0,−15)

(10,−8)

(43–√,4)

(−6,6)

Dados los puntos en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en radianes) del punto y seis razones trigonométricas para los ángulos.

(−9,0)

(13,−13)

(2,3)

(−7,−73–√)

(−8,−4)

Explicación paso a paso: