Respuestas
Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadradosde los catetos –los lados restantes–.
Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis
MN2=NQ2+MQ2, para ΔMNQ,
NQ2=NP2+PQ2, para ΔNPQ, y
MQ2=MP2+PQ2, para ΔMPQ,
porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.
Asimismo, se cuenta con la
Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;
también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.
Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ,∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180°porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.
De todo ello,
∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°
y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir,∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.
Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante∡MQP=∡MNQ=α.
DEMOSTRACIÓN
1. MN2=NQ2+MQ2, considerando que la hipótesis sea verdadera.
2. (MP+NP)2=NQ2+MQ2, porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.
3. MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2, desarrollando el binomio cuadrado.
4. MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2 y MQ2 son expresados en términos de la suma de sus partes.
5. MP·NP=PQ2, reduciendo términos semejantes.
6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.
Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, yPQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,
7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.
Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.