Dos astabanderas están aseguradas con cables sujetos a
un solo punto entre las astas. Vea la FIGURA. ¿Dónde
debe ubicarse el punto a fin de minimizar la cantidad de
cable usado?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Sea d la distancia entre las astas. Se ubica el punto de enlace a una distancia x de una de las astas. La distancia hasta la otra es d - x
La distancia desde el punto hasta el extremo de las astas son d1 y d2
La longitud se minimiza si la suma de sus cuadrados también se minimiza.
f(x) es la función a minimizar:
f(x) = x² + h² + (d - x)² + h² (suma de los cuadrados de hipotenusas)
f(x) = 2 x² - 2 d x + d² + 2 h²
Derivamos respecto de x dos veces:
f '(x) = 4 x - 2 d; f ''(x) = 4 (positiva implica un mínimo)
El valor mínimo corresponde para derivada primera nula
Por lo tanto 4 x - 2 d = 0
O sea x = d/2
El punto de amarre deberá estar en el punto medio entre las dos astas.
La ubicación del punto a fin de minimizar la cantidad de cable usado es:
1,5 pies
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cómo se relacionan los lados triángulo rectángulo?
Por medio del Teorema de Pitágoras, que es una fórmula que relaciona los tres lados del triángulo.
a² = b² + c²
Siendo;
- a: hipotenusa
- b y c: los catetos
¿Dónde debe ubicarse el punto a fin de minimizar la cantidad de cable usado?
Aplicar teorema de Pitágoras;
H² = 20² + (30 - x)²
Aplicar binomio cuadrado;
(30 - x)² = 900 - 6x + x²
Sustituir;
H² = 20² + 900 - 6x + x²
H² = 1300 - 6x + x²
h² = 10² + x²
h² = 100 + x²
El total de cable es la suma de las H² + h² = C(x);
C(x) = 1300 - 6x + x² + 100 + x²
C(x) = 2x² - 6x + 1400
Aplicar primera derivada;
C'(x) = d/dx (2x² - 6x + 1400)
C'(x) = 4x - 6
Igualar a cero;
4x - 6 = 0
4x = 6
Despejar x;
x = 6/4
x = 3/2 = 1,5 pies
Aplicar segunda derivada;
C''(x) = d/dx (4x - 6)
C''(x) = 4
Se confirma que hay un mínimo relativo en x = 3/2;
Puedes ver más sobre el cálculo de máximos y mínimos aquí: https://brainly.lat/tarea/13504125
