Question

Hola, me podrían ayudar con este ejercicio, por favor:
Suponga que debe enviar un paquete, y decide hacerlo usando un cañón de
aire ubicado en la azotea de un edificio, la cual está a una altura de 20 m con respecto al suelo. La
encomienda debe llegar a una distancia de 1000 metros, y se lanza con un ángulo de 60° con respecto a la horizontal. Determine:
a) El tiempo total de vuelo del objeto.
b) La velocidad inicial Vo necesaria para que el objeto llegue al punto de
destino.

Answer 1

El tiempo de vuelo del paquete es de 13,4 segundos, y la velocidad inicial del paquete tiene que ser de 105,8 metros por segundo.

Explicación:

El paquete lanzado describe un movimiento parabólico, cuyas componentes de posición son las de un movimiento con velocidad constante en la dirección horizontal y de un movimiento uniformemente acelerado en la dirección vertical. Por lo que queda:

a) La posición vertical es:

$y=y_0+v_0.sen(60\°).t-\frac{1}{2}gt^2$

Y la posición horizontal, de donde despejamos la velocidad inicial es:

$x=v_0.cos(60\°).t\\\\v_0=\frac{x}{cos(60\°).t}$

Entonces queda la siguiente ecuación;

$y=y_0+\frac{x}{cos(60\°).t}.sen(60\°)t-\frac{1}{2}gt^2\\\\y=y_0+\frac{x.sen(60\°)}{cos(60\°)}-\frac{1}{2}gt^2$

Si el paquete tiene que llegar a 1000 metros, para esa posición horizontal la posición vertical es 0.

$0=y_0+\frac{x.sen(60\°)}{cos(60\°)}-\frac{1}{2}gt^2\\\\t=\sqrt{\frac{2(y_0+tan(60\°).x)}{g}}=\sqrt{\frac{2(20m+1000m.tan(60\°))}{9,8\frac{m}{s^2}}}\\\\t=13,4s$

b) Y podemos despejar el tiempo de la expresión de posición horizontal para hallar la ecuación de la trayectoria.

$x=v_0.cos(60\°).t\\\\t=\frac{x}{v_0.cos(60\°)}\\\\y=y_0+v_0.sen(60\°).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\y=y_0+tan(60\°).x-\frac{1}{2}\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(60\°)}$

Para que el paquete llegue al punto (1000,0) la velocidad inicial es:

$0=y_0+tan(60\°).x-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(60\°)}\\\\g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(60\°)}=2(y_0+tan(60\°).x)\\\\v_0^2=\frac{gx^2}{2(y_0+x.tan(60\°)).cos^2(60\°)}\\\\v_0=\sqrt{\frac{gx^2}{2(y_0+x.tan(60\°)).cos^2(60\°)}}=\sqrt{\frac{9,81\frac{m}{s^2}(1000m)^2}{2(20m+1000m.tan(60\°)).cos^2(60\°)}}\\\\v_0=105,8\frac{m}{s}$