Question

Una hipérbola tiene por focos los puntos (7.8, 9) y (−1.8, 9), y uno de sus vértices está en el punto (5.83, 9).


¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que cumple estas condiciones?

(Clave: Tenga en cuenta la relación a2+b2=c2

Answer 1

Nosotros consideraremos que el eje focal de la hipérbola será paralela al eje "x", entonces la ecuación ordinaria que la define es:

                                            $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1}}}$

De esta ecuación nosotros podemos obtener el centro, los vértices, los focos, eje focal, eje transeverso, eje conjugado y otros elementos pero lo que nos interesa es lo siguiente:

                 Centro                             Foco                             Vértice

              $\boxed{\mathsf{C=(h,k)}}$                   $\boxed{\mathsf{F =(h\pm c,k)}}$                $\boxed{\mathsf{V =(h\pm a,k)}}$

                                                            ↓                                     ↓

                                                   ${\mathsf{F_1 =(h+ c,k)}}$                    ${\mathsf{V_1 =(h+ a,k)}}$

                                                   ${\mathsf{F_2 =(h- c,k)}}$                   ${\mathsf{V_2 =(h- a,k)}}$

Del problema tenemos que:

                 Focos                                                 Vértice

           ✦ $\mathsf{F_1 = (7.8,9)}$                                   ✦ $\mathsf{V_1 = (5.83,9)}$

           ✦ $\mathsf{F_2 = (-1.8,9)}$

☛ Igualamos el valor del foco

                                                        $\mathsf{h +c = 7.8}$

                                                        $\mathsf{h-c = -1.8}$

                                      Sumamos estas 2 ecuaciones

                                                        $\mathsf{2h = 7.8 - 1.8}$

                                                        $\mathsf{2h =6}$

                                                        $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{h = 3}}}$

☛ Reemplazamos en alguna de las ecuaciones "h" para determinar "c"

                                                     $\mathsf{h +c = 7.8}$

                                                     $\mathsf{3 +c = 7.8}$

                                                      $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{c = 4.8}}}$

☛ Por comparación en el foco tenemos que

                                                        $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{k = 9}}}$

☛ Igualamos el vértice

                                                   $\mathsf{h+a = 5.83}$

                                                  $\mathsf{3+a = 5.83}$

                                                        $\mathsf{a = 5.83-3}$

                                                      $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{a = 2.83}}}$

☛ Solo nos falta determinar el valor de "c", por ello usaremos a² + b² = c²

                                                     $\mathsf{a^2+b^2=c^2}$

                                               $\mathsf{(2.83)^2+b^2=(4.8)^2}$

                                                  $\mathsf{b^2=(4.8)^2-(2.83)^2}$

                                                      $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{c=3.877}}}$

Reemplazamos todos los datos que tenemos en la ecuación inicial

                                           ${\mathsf{\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1}$

                                     $\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{\dfrac{(x-3)^2}{(2.83)^2}-\dfrac{(y-9)^2}{(3.877)^2}=1}}}}$

                                                            ↓

                                           Ecuación de la hipérbola

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌