Question

Una pista de carreras tiene la forma de una elipse, con 30 metros de largo y 14 metros de ancho. ¿Cuál es su anchura a 10 metros del vértice?

Answer 1

La anchura de la pista de carreras a 10 metros del vértice es aproximadamente de 13,2 metros.

Explicación paso a paso:

Para dar respuesta a la situación planteada necesitamos la ecuación de la elipse.

Podemos asumir que nuestra elipse tiene centro en el origen de coordenadas (0, 0) y que su eje mayor es horizontal, de manera tal que coincide con el eje  x.  El eje menor coincide con el eje  y.

Ecuación canónica de una elipse de eje mayor horizontal

$\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

siendo

(h, k)  =  centro de la elipse

a    =    distancia desde el centro al vértice sobre el eje mayor

b    =    distancia desde el centro al vértice sobre el eje menor

En nuestro caso:    h  =  0    k  =  0    a  =  30/2  =  15    b  =  14/2  =  7

Entonces la ecuación de la elipse que representa la pista de carreras es:

$\bold{\dfrac{(x~-~0)^2}{(15)^2}~+~\dfrac{(y~-~0)^2}{(7)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\bold{\dfrac{x^2}{225}~+~\dfrac{y^2}{49}~=~1}}$

Queremos saber la anchura de la elipse a 10 metros del vértice; es decir, la longitud de una cuerda que pasa a 10 metros del vértice sobre el eje mayor.

La coordenada  x  de este punto es  5,  ya que el vértice está a  15  unidades del centro. La diferencia entre 15 y 10 sería la ubicación del punto: (5, 0)

Ahora sustituimos el valor de  x  en la ecuación y obtenemos las coordenadas  y  de los puntos extremos de la cuerda solicitada:

$\bold{\dfrac{(5)^2}{225}~+~\dfrac{y^2}{49}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{y^2}{49}~=~\dfrac{8}{9}\qquad\Rightarrow\qquad y~=~\pm\dfrac{14\sqrt{2}}{3}}$

Los puntos extremos de la cuerda son:    $\bold{(0,~-\dfrac{14\sqrt{2}}{3})\quad\wedge\quad(0,~\dfrac{14\sqrt{2}}{3})}$

Ahora calculamos la distancia entre esos puntos por la fórmula:

$\bold{Longitud~=~\sqrt{(0~-~0)^2~+~(-\dfrac{14\sqrt{2}}{3}~-~\dfrac{14\sqrt{2}}{3})^2}~=~\dfrac{28\sqrt{2}}{3}~\approx~13,2~m}$

La anchura de la pista de carreras a 10 metros del vértice es aproximadamente de 13,2 metros.