Question

Un avión va a despegar para efectuar un vuelo normal, si se encuentra a 8,500 m de una cima, cuya altura es de 890m. Calcular el límite del ángulo de elevación con el que se evita la colisión. Dar el resultado en sistema sexagesimal

Answer 1

La medida del ángulo de elevación mínimo con el cual debe despegar el avión para evitar una colisión es de 6°0'36'' en el sistema sexagesimal

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura desde el plano del suelo hasta la cima, el lado AB que representa la distancia desde el avión hasta la cima siendo la hipotenusa del triángulo rectángulo y el lado BC que es el plano del suelo o línea horizontal

Donde se pide hallar:

La medida del ángulo de elevación denotado como β para evitar una colisión con la cima de la montaña cuando el avión efectúe su despegue.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura desde el suelo hasta la cima y de la distancia del avión hasta la cima

• Altura de la cima = 890 metros

• Distancia del avión hasta la cima = 8500 metros

• Debemos hallar el valor del ángulo β que el cual es el ángulo de elevación mínimo o límite con el cual el avión debe despegar

Si el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos el valor del cateto opuesto (altura de la cima), asimismo conocemos el valor de la hipotenusa (distancia del avión hasta la cima, y debemos hallar el ángulo denotado como β que es el ángulo mínimo o límite que requerirá el avión para despegar evitando una colisión con la cima relacionamos los datos que tenemos con el seno del ángulo

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(\beta )^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )^o= \frac{altura \ de \ la \ cima }{distancia\ avion \ a \ cima } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta)^o = \frac{890 \ metros }{8500 \ metros \ } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta)^o = 0.1047058823529 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold {\beta = arc sen ( 0.1047058823529 ) }}$

$\boxed { \bold {\beta = 6.0102 ^o }}$

$\large\boxed { \bold {\beta = 6.01 ^o }}$

El valor del ángulo límite de elevación con el cual debe despegar el avión para evitar una colisión es de 6.01° en grados decimales

Convertimos los grados decimales a grados, minutos y segundos

$\large\boxed{\bold { \beta =6.01 ^o }}$

Hallamos los grados

Para convertir de grados decimales a grados, minutos y segundos, tomamos las unidades enteras de los grados, dejando la parte entera como está:

Teniendo 6°

Hallamos los minutos

Tomamos la parte decimal y multiplicamos por 60 para hallar los minutos

$\boxed{\bold { 0.01 \ . \ 60 = 0.6}}$

Donde tomamos la parte entera para los minutos

Obteniendo 0'

Dejamos la parte entera como está para 0 minutos, y repetimos el proceso de multiplicación por 60 para hallar los segundos

Hallamos los segundos

$\boxed{\bold { 0.6 \ . \ 60 = 36 }}$

Obteniendo 36''

Combinamos los tres resultados obtenidos de enteros y los combinamos empleando los símbolos de grados (°), minutos (') y segundos ('')

Donde se obtiene

$\large\boxed{\bold { \beta =6^o \ 0' \ 36 '' }}$