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2) Sabemos que entre las dos partes la suma debe ser 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 12·13/2 = 78. Puesto que ambas partes suman lo mismo, cada una de ellas debe sumar 78/2 = 39.
Tenemos entonces que dividir el reloj en dos partes de manera que cada una de ellas sume 39. Para ir descartando posibilidades me centraré en los números mayores:
12 + 11 + 10 + 9 = 42 => Esos cuatro números no pueden estar en la misma parte.
12 + 11 + 10 = 33. Faltan 6, que puedo conseguir con 1 + 2 + 3.
Hemos encontrado una solución: 10, 11, 12, 1, 2 y 3.
Veamos si hay más:
12 + 11 = 23. Faltan 16, que no pueden conseguirse con la suma de los siguientes al 12 (como más nos acercamos es del 1 al 5, que suman 15).
12. Faltan 27, que tampoco puede conseguirse con la suma de los siguientes al 12 (como más nos acercamos es del 1 al 7, que suman 28).
Por tanto la solución que hemos encontrado es única; además ambas partes tienen 6 números cada una (el enunciado no decía que las partes tuvieran que ser iguales), de modo que podemos partir el reloj por un diámetro que por la izquierda quede entre el 9 y el 10 y por la derecha entre el 3 y el 4.
3) 29
12 17
6 6 11
2 4 2 9
El orden de operaciones es el siguiente:
6 - 2 = 4 => 6
2 4
4 + 2 = 6 => 6 6
2 4 2
6 + 6 = 12 => 12
6 6
2 4 2
29 - 12 = 17 => 29
12 17
6 6
2 4 2
17 - 6 = 11 => 29
12 17
6 6 11
2 4 2
11 - 2 = 9 => 29
12 17
6 6 11
2 4 2 9
4) Tenemos que colocar en esas casillas los números del 1 al 9, donde los tres primeros ya se nos dan colocados. En total suman 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 9·10/2 = 45. Puesto que cada fila o columna debe sumar lo mismo, cada una de ellas sumará 45/3 = 15
Así que tenemos que colocar en el cuadro los números 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de forma que cada fila o cada columna sume 15.
Como en el del reloj, comenzaré descartando situaciones de los números grandes. Por ejemplo ¿puede estar el 9 en la misma fila o columna que el 3? Sumamos 9 + 3 = 12. Faltan 3 hasta completar 15, y no es posible porque ya habíamos usado el 3. Por tanto el 9 se encuentra o bien a la derecha o bien debajo del 1.
Probamos con el 9 a la derecha del 1 y vamos completando el cuadro, que se hace de forma sencilla. Llegamos con eso a una solución correcta:
1 9 5
6 2 7
8 4 3
Probemos con el 9 debajo del 1. Llegamos a otra solución válida:
1 6 8
9 2 4
5 7 3
Hemos encontrado dos soluciones válidas, aunque en cierto modo son la misma, porque si te fijas son simétricas con respecto a la diagonal 1, 2, 3. El que la solución, si existía, tenía que ser doble, lo podíamos haber deducido desde el principio.