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1 a) Son paralelas
1 b) Son secantes. Su punto de intersección es P(-1/11 , 26/11)
2 a) Son secantes. Su punto de intersección es P(2/9 , 167/9)
Explicación paso a paso:
1 a.
y = 2x + 3
y = 2x + 5
En ambas la pendiente es 2. Por tener la misma pendiente son paralelas.
1 b.
y = 7x + 3
y = -4x + 2
Tienen diferente pendiente, de modo que son secantes. La intersección la obtenemos resolviendo el sistema, que haré por igualación:
7x + 3 = -4x + 2
=> 11x = -1
=> x = -1/11
Sustituimos el valor de "x" en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la primera:
=> y = 7(-1/11) + 3
= 26/11
2 a.
Vamos a poner ambas ecuaciones en su forma ordinaria, como están las de los ejercicios anteriores. Para la recta "r" simplemente desarrollamos la ecuación.
r: (x + 4)/(-2) = (y - 8)/(-5)
=> -5(x + 4) = -2(y - 8)
=> -5x - 20 = -2y + 16
=> 2y = 5x + 36
=> y = (5/2)x + 18
La recta "s" está dada de forma paramétrica, de modo que lo primero que debemos hacer es formar una única ecuación eliminando el parámetro, ya sea por igualación, sustitución o reducción.
s: x = 8 - 5k
y = 3 + 10k
Lo haré por reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos ambas:
=> 2x = 16 - 10k
y = 3 + 10k
----------------------
=> 2x + y = 19
=> y = -2x + 19
Ya tenemos las dos rectas en forma ordinaria; la primera con pendiente 5/2 y la segunda con pendiente -2. Son secantes, así que calculamos por igualación su punto de intersección:
y = (5/2)x + 18
y = -2x + 19
=> (5/2)x + 18 = -2x + 19
=> (5/2)x + 2x = 1
=> (9/2)x = 1
=> x = 2/9
Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones; por ejemplo en la primera:
y = (5/2)(2/9) + 18
= 5/9 + 18
= 167/9